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zoom RSS Riemann 計量(2)

<<   作成日時 : 2013/10/03 00:01   >>

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前記事では、 Euclid 空間に埋め込まれた多様体として計量を考えてきましたが、「滑らかな多様体」では必ずしもそういう考えしていませんでした。むしろ、そういう仮定無しで扱われることに特徴があるようです。

次元の滑らかな多様体の座標近傍系に前記事の計量と同じ形の計量を、必ずしも Euclid 計量からの誘導によらずに、導入したものが Riemann 多様体 です。

[定義]=========================================
Riemann 多様体とは、個々の座標近傍において、局所座標 の点と、 の点との距離 が定義され、それがRiemann 計量と呼ばれる正の定符号形式

    

で与えられるような滑らかな多様体である。
===============================================

・ 右辺の2次形式が正の定符号形式であるとは、 のすべてが になる場合を除いて符号がつねに正であることを意味する。

・ 特に の作る行列は正でなければならない。

の関数で、計量基本テンソルまたは単に計量テンソル(metric tensor) と呼ばれる。

は、 と異なり、局所座標系のとり方によらないことにする。



・ Riemann 計量は局所的な性質 → 同じ Riemann 計量を持ちながら多様体として異なるのは普通。
  例)平坦なトーラスと Euclid 平面とは Riemann 計量の形からは区別できない。

普通のトーラスは3次元に埋め込むことができるが、平坦なトーラスは4次元まで高めないと埋め込むことが出来ない。
4次元 Euclid 空間で直交座標が

     

で与えられる2次元 Riemann 多様体は、 をパラメータとして、トーラスを表す。

 

とおくと、

 

なので、

 

となるから、

     

であり、平坦ということになる。

・ このように、Riemann 多様体を "等長のまま" Euclid 空間に実現することと、滑らかな多様体として Euclid 空間に実現することとは、必要とする次元が異なるのが通常である。

・ 平坦で閉じた 次元の Riemann 多様体を平坦なまま埋め込める Euclid 空間の次元の最小値は 以上である。

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