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zoom RSS 曲率テンソル(5)

<<   作成日時 : 2013/10/25 00:01   >>

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今回は練習問題をやることにします。

[問題]====================================
任意のベクトル から
   
を作る。
   
をつぎの方法で証明せよ。
(@)Christoffel 記号をそのまま用いる。
(A)測地座標系を利用する。
(B)Riemann の曲率テンソルの性質に帰着させる。
==========================================

問題を解く前に、 の性質を考えておきます。
  
  

(@)Christoffel 記号をそのまま用いる。
     
     
     
    辺々足し算すると、
     
    また、
     
     
     
    辺々足し算すると、
     

(A)測地座標系を利用する。
    測地座標系ではクリストッフェル記号がゼロであるから、
     
    であることは直ぐわかる。また、 はテンソルであり、
    これがある座標系(この場合、測地座標系)でゼロであるということは、一般的にゼロということで、
    

(B)Riemann の曲率テンソルの性質に帰着させる。
     
      
      
     一方、 なので、
      

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