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zoom RSS 曲率テンソル(1)

<<   作成日時 : 2013/10/21 00:01   >>

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共変微分の次は曲率テンソルになります。その具体例を計算し、その後 Bianchi の恒等式に触れて“Riemann 多様体”を終わる予定です。
まず曲率テンソルを勉強していきます。

・ 通常関数 は、2回連続微分可能なら、2次導関数は微分の順序によらない。
     

・ 共変導テンソルの場合、ベクトル について、一般には で、
     
   となる。

   通常微分を“,”で表すと、
     
   であるが、 を共変テンソル と見做して共変微分を考えると、「共変微分(2)」から
     
   に代入すると、
   
   
   
   
   なので、
  
   ここで、 などに気をつけて、kl を交換すると、
  
  となる。よって、
  
  
  
  から、
  

・ 添字を替えて、“,”を通常微分に書き直すと、

  
  となる。

・ これはRiemann の曲率テンソルと呼ばれる。


さて、
 
から、
 
なので、
 

また、
 
 
 
を辺々足し算すると、
 

・ まとめると、

 
 
 

今日はこの辺で。。



 

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