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zoom RSS 近日点移動についておさらい(1)

<<   作成日時 : 2013/01/08 00:01   >>

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以前に近日点移動(1)近日点移動(2) にて勉強しているのですが、ちょっと疑問が出てきてしまったので、再度おさらいすることにします。

使うのは Schwarzschild 時空 なので、計量を明記しておくと、



です。後で、数値計算をする積もりなので、c = 1 という自然単位は使わないで置きます。
ここで、式を簡略化するため、



と定義して、式を書き直すと



となります。
いま問題にしているのは、近日点移動のため、角運動量保存から と固定しても一般性を失いません。なので、



として次元を一つ減らしておきます。
ここで、ゼロでない計量を書いておくと、



であり、固有時を考えると、



から、



つまり、



という条件式が出てきました。
ここで、ドットは 、つまり固有時での微分を表しています。 でないことに注意です。
さて、作用から



つまり、



です。
これより、



なので、オイラー・ラグランジュ方程式を考えると、εとj を定数として、



という保存量ということになります。ここから、



なので、これを式(1)に代入すると、





から、



なので、



となりました。

今日はこの辺で。。


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