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zoom RSS 「商の定理」_備忘録

<<   作成日時 : 2012/11/18 00:01   >>

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ディラック「一般相対性理論」(ちくま学芸文庫)にテンソルに関する「商の定理」というのがあるんですが、他の相対論関係の本ではあまりこれのみを取り上げたものはないと思われます。
ここでは引用のための備忘録として、私なりに勉強した内容を書いておきます。

[商の定理]=============================
任意のベクトル に対し、 がテンソルになるようなものであると、 はテンソルである。
=======================================

[証明]

とりあえず、



とおきましょう。条件としてこれがテンソルとなるはずなので、



となるでしょう。よって、最初の式から



です。一方、 はベクトルなので、



です。したがって、



で、これが任意の に対して成立しなければならないので



となり、 がテンソルであることが分かります。

[引用]=============
この定理は、 を勝手な数の添字をもつ量にかえても、さらに添字のいくつかは上つきだとしても、同様になりたつ。
===================

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