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zoom RSS 電磁気と力の変換の関係をもう少し一般化(1)

<<   作成日時 : 2012/07/02 00:01   >>

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前記事「電磁気と力の(逆)変換の関係」で求めた結果を、もう少し一般化した結果が「相対論と高エネルギー物理」(W.G.V.Rosser著、三島信彦訳、共立出版)に掲載されているのですが、その式の導出が書かれていません。以前、これを独力でやってみて自己満足していました(内容は大したものではないですか)。。これを思い出しながら、備忘録として書いておきます。ビオ=サバールの方程式が出てくるので、個人的にはちょっと感動なんです。。

この「相対論と高エネルギー物理」(W.G.V.Rosser著、三島信彦訳、共立出版)の原本"Relativity and High Energy Physics"はネットで閲覧出来ます。

http://ia700804.us.archive.org/21/items/RelativityHighEnergyPhysics/Rosser-RelativityHighEnergyPhysics_text.pdf

ここでは、この p110 の(5.34)式と(5.35)式の導出のことを言っています。
これに対する説明は " Rosser, W. G. V., Classical Electromagnetism Via Relativity (Butterworths,
London, 1968).
" に掲載されているようですが、入手できないので自分で考えるしかないという状況ですね。

まず、電荷 Q が x 軸方向に v で移動して見える慣性系Σでの位置関係は次のようにしましょう。

画像


ここで分かっている関係を書いておくと、



であり、図には書いてませんが、Q と q との間に働く力 があります(x−y平面の話にしてあるので z 方向の力は有りません)。ここでは Q が v で動いているので、空間には磁場も発生しており、「静止点電荷の電場に関するクーロンの法則」のみでは決定できません。

次に、電荷 Q が停止して見える慣性系で同じ状況を表すと次のようになります。

画像


ローレンツ収縮が解けていて Q と q の間の距離 r' は自然長になっています。まずこれを計算しましょう。





から、



角度 θ' についても θ との関係を考えます。 から、



さらに、







なので、まとめると、





となります。
これらを使うと、Q と q との間に働く力の x 成分と y 成分を求めることができます。
この場合 Q と q との間に働く力 f' は Q が v で動いていないので、空間には「静止点電荷の電場」のみしか存在しません。よって、



であり、





となります。
これをΣ系に変換して、f を求めるのが主目的ですが、長くなったので今日はこの辺で。。

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