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zoom RSS エネルギー・運動量テンソルの形(1)

<<   作成日時 : 2012/06/12 00:01   >>

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「アインシュタイン方程式へ(2)」の[定理A]を証明(特に@)したいのですが、長丁場なので少しづつ考えていきます。
テキストは上田博「独学 一般相対論」牧歌舎。

まず、P点で測地線座標系を考えます。そうすると、





さらに、



です。最後の式はちょっと「?」が付きますねぇ。。
は元の曲がった空間の計量で、点Pで測地線座標系を考えているのだから、この点でクリストッフェル記号=0なので、初めの2式が成立するのは当然でしょう。
最後の式は曲がった空間なので、点Pで1階微分がゼロでも2階微分はゼロにならないのだそうです。

----------------------------------
ちょっと、適切ではないかも知れませんが、アナロジーとして のとき、 なので、



という感じと似ています。
----------------------------------

[定理A]の前提として「 およびその1階、2階の微係数だけからできている2階対称反変テンソルで、 の2階微分係数については1次式とする。」ということですね(ここでは「反変」テンソルとしていますが、以降は「共変」テンソルで話を進めます。最後に添字上げをすれば良いため。。)。
今は、測地系で考えるので、 に含まれる の1階微分 はすべて0であり、 という訳です。
さて、対象のテンソルは一般的には



という形になりますが、

gμνの2階微分の1次式
 =(∂g○○ 内にμ、νの2つとも添字が入る形 )
 +(∂g○○ 内にμ、νの1つのみが添字が入る形 )
 +(∂g○○ 内にμ、νの1つも添字に入らない形 )

となるとのこと。。
まず、

(∂g○○ 内にμ、νの2つとも添字が入る形 )

を検討します。
これは、

 

という形になるとのこと。。 が掛かっているのは、 だから、縮約して ○μν の形にしたいからとのことです。
表現を簡略化して、

 

ですが、μとνに関して対称だから、C1 = C2 ≡C として、

 

と書けるでしょう。

次に

(∂g○○ 内にμ、νの1つのみが添字が入る形 )

について考えます。
例えば という添字としてμのみを含む項だとすると、これを縮約して ○μν の形にするのだから、 としなければなりません。これを計算すると、




で、これは結局

 (∂g○○ 内にμ、νの2つとも添字が入る形 )

の一つになり、

gμνの2階微分の1次式
 =(∂g○○ 内にμ、νの2つとも添字が入る形 )
 +(∂g○○ 内にμ、νの1つも添字に入らない形 )

となるでしょう。

次に

(∂g○○ 内にμ、νの1つも添字に入らない形 )

を検討します。
例えば の添字にはμ、νがありません。これを ○μν という形にするには、 を掛けて、さらに を掛けて縮約しなければなりません。
ここで αβρσの配列は 4! = 24 通りありますが、αとβおよびρとσの対称性より独立なものは、

 αβρσ、ρσαβ、αρβσ、ρασβ、αρσβ、ραβσ  

の6通りになります。さらに、



なので、



の3通りになりますが、 を掛けるので、α、βをρ、σに置き換えても同じなので、 と同じになります。よって、



だけが残り、



と書けることになります。
よって、

gμνの2階微分の1次式



となります。最終的に、Tμν は gμν (=ημν)も含んでいるので、





という形になるでしょう。

さて、形は決まったのですが、右辺がテンソルである保証はありません。それについては後記事で考えることにします。





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