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zoom RSS いまさら双対空間(2)

<<   作成日時 : 2011/12/30 00:01   >>

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では、前記事に続き、元のベクトルと双対ベクトルの関係をもう少し説明してみます。

これが唯一の表現ではないのですが、基底 eμ



とすると、物理量 に対応するベクトルは



となります。

それに伴い、双対空間の基底 eν





となり





となります。
各基底をこのような表現にすると、( , )を内積と考えて、



と辻褄が合うことになります。
ただし、これは表現の一つであり、他にもいろいろと表現できるようです。


物理量との関係について「須藤靖「もうひとつの一般相対論入門」日本評論社 P24」の記述を私なりにまとめてみます。

点 P での、物理量 を  と書くことにすると、

を数多くあるベクトル空間の1つを選んで表現したものを と書く。

・このベクトル空間には必ずある双対ベクトル空間が対応するので、その双対ベクトル空間の基底を用いて同じ物理量 を表現したものを  と書く。

・上の条件から、 であり、それらの成分も である。

・しかし、同じ物理量 に対応していることに間違いない。

・ここからわかるように、添え字の上下には重要な意味があり、それらを正しく区別して用いることが必要。

・しかし、ベクトルで表現される物理量と双対ベクトルで表現される物理量という2種類の分類がある訳ではない。

・そのような物理量はいずれもベクトルと呼ばれ、異なる2つの表現法があるというだけの話である。


参考文献:
 須藤靖「もうひとつの一般相対論入門」日本評論社 P23〜24




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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
こんにちは。誤字です。
>ベクトルで表現される物理量と相対ベクトル
→ベクトルで表現される物理量と双対ベクトル

数学でいう双対空間は良く分からないのですが、ここで説明されているような幾何イメージは分かりやすいですね。でもこれがテンソルやホッジとの関わりとなるとさっぱりです。誰か分かりやすい説明してくれないかしら。
明男
2011/12/30 10:04
ご指摘ありがとうございました。早速直しておきました。

「双対空間」の説明はweb上の「ときわ台学」が一番分かり易かったように思えます。テンソルはベクトル(双対ベクトルも含む)の直積とも表現できるので、2階テンソルのある形だけは具体的に表せて、テンソル基底というのを示すことができます。その形で別の形式も類推するということになるんですが、それは少し後の記事で説明できたらと思っています。
T_NAKA
2011/12/30 11:42

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