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zoom RSS じゃあ、方程式を解いてみましょう。

<<   作成日時 : 2011/11/02 00:01   >>

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「等加速度運動の方程式」で導出した微分方程式を解くことにします。
根性無しなので、公式集から不定積分を求めてますが、そこは大目に見て下さい。。

さて、該当の微分方程式を書いておきましょう。




変数分離すると、



となります。ここで、



なので、変数分離形の左辺は



で、t = 0 のとき u = 0 とすれば、



と解けました。両辺を2乗して u2 についてまとめて、ルートをとると、




となります。c ≫ αt という非相対論的極限では u = αt というお馴染みの関係が出てきます。

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上式を少し変形して



として、α/c = 0.1〜0.5 と 0.9 の場合をグラフに描いてみました。

画像


u/c は1が上限になることが見えてきます(これは数式からも簡単に求まりますが)。
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さて、最終的には速度ではなく位置(x) と時間(t)の関係を求める必要があります。つまり、



なので、両辺を積分すると、



となります。ただし、ξは積分定数で、t = 0 のときの x の位置によります。
もう少し、整理すると、軌跡は



という双曲線グラフになるようです。
これも、"Hyperbolic motion (relativity)" http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_motion_%28relativity%29 にあるとおりです。

さて、ξ = 0 として議論を簡略化しましょう。つまり、



です。ここで、t = 0 のとき x = c2/α であることに留意願います(ここでも議論を簡略化して「+」のみを考えます)。
双曲線を意識して右辺を1にするようにすると、



となりますが、



なので、




となります。さらに、これらの微分を考えると、



なので、前の式を後の式で割ると、



で、θは



ということになります。
ここで、θの意味をもう少し掘り下げましょう。まず、加速中のロケットの固有時τを考えます。



なので、



であり、



という媒介表示が可能となります。


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