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zoom RSS Unruh 効果のおさらい

<<   作成日時 : 2011/09/02 04:47   >>

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以前に「ドップラー・シフト導出の付け足し」http://teenaka.at.webry.info/200802/article_8.html という記事を書いてますが、Tex で書いた方が良いと思うので、内容を少し変えて再掲したいと思います。

z方向にブーストしているとして、一様加速の世界線は



となります。
次にMinkowski空間の平面波



が提示されます。くどいですが、この「平面波」とは電磁波・光のことです。(ここは古典物理での話なので、量子論の波動関数ではありません。また、複素数表現をしていますが、最終的には実部か虚部のみを使うという意味です。)つまり、



です。よって位相部分は


 


となります。
ここで問題としているのが、一様加速する観測者に対してのドップラー・シフトなので、観測者に向かってくる電磁波・光を対象としましょう。つまり、-z方向なので、位相は kz+ωt で、



ということになります。つまり電磁波・光は



です。 
フーリエ変換すると



なので、これは、



となり、これを A として



という変数変換を行うと、τ= -∞→+∞ のとき y = 0→+∞ で





なので、



という形になります。ここで、ガンマ関数の定義



を思い出し、



とすると、これが使えそうな気がします。





なので、



つまり、



となります。ここで、



なので、



となり、



です。また、それから



となります。
ここで、観測者の見るパワー・スペクトラム S(Ω) は S(Ω) ∝ |A|2 なので、これを計算すると、



です。
さらに公式



から、



が言えるため、






となり、



つまり、



で、



というPlanck因子



の形が出てきました。よって



から、



とすると、温度が出てくることになります。


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