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zoom RSS 宇宙の計量の計算(2)

<<   作成日時 : 2011/07/05 00:01   >>

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前記事で求めたクリストッフェル記号を材料にして、まずリッチ・テンソルを求め、それからスカラー曲率を求めます。
この結果に条件を課すことにより、最終的にW(x) の具体的な形を決定するというストーリーです。

前記事の結果から、



を使って計算しますが、煩雑なのでゼロでないリッチ・テンソル成分の計算結果のみ示します。ちょうど対角成分のみ残って、









です。当然、この他のリッチ・テンソル成分はゼロです。
これから、スカラー曲率は

















で、まとめると、



です。
ここで「宇宙原理」によると、特別な場所などないのですから、スカラー曲率も場所の関数であっては矛盾することになります。
つまり、{ }内が定数でなければいけないでしょう。そこで、A を定数として、



とします。ここでちょっとトリッキーですが、



とすれば、上式は、







と変形され、最後に



という微分方程式になります。これを解くと、



つまり、



ですが、計量は局所的にはミンコフスキー空間に近似しなければならないので、C = 0 でしょう。
そうすると、新たな定数 K ≡ A/3 を用いて、

 

となります。
さらに全体の計量は



とロバートソン=ウォーカーのそれになります。

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ロバートソン・ウォーカー計量に対するアインシュタイン・テンソル
「宇宙の計量の計算(2)」で求めた計量およびリッチ・テンソルとスカラー曲率からアインシュタイン・テンソルを考えます。 ...続きを見る
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