T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS シュバルツシルド時空での自由落下(シュバルツシルド半径から遠い場合)

<<   作成日時 : 2010/02/14 00:10   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 1 / コメント 0

これは単にニュートン近似で話が済んでしまうことなのかも知れません。
ただ、シュバルツシルド計量でクリストッフェル記号を計算して、それを測地線方程式に代入してみたいと思いました。
それがニュートン力学と同じ結果になることを確かめて見たかったのです。

まず、測地線方程式を考えます。

(duα/dτ)+Γμναuμuν = 0

この空間成分は

(dui/dτ)+Γμνiuμuν
= (dui/dτ)+Γ00i(u0)20jiu0ujjkiujuk
= (d2xi/dτ2)+Γ00i(dx0/dτ)20ji(dx0/dτ)(dxj/dτ)+Γjki(dxj/dτ)(dxk/dτ) = 0

です。ここで、

|dxj/dτ| ≪ |dx0/dτ| ≒ c

という条件(重力が弱い)を加味すると、測地線方程式は

(d2xi/dτ2)+Γ00ic2 ≒ 0

となります。
ここで、具体的な計量として、次のシュバルツシルド時空を考えます。

ds2 = -{1-(a/r)}c2dt2+{1-(a/r)}-1dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)

(ただし、a≡2MG/c2

ここで、シュバルツシルド半径から遠いところの自由落下を考えるのですが、dt と dτ の関係を求めておかなければいけないと思います。このヒントは

「Vessot の実験(2)_備忘録」
http://teenaka.at.webry.info/200912/article_21.html

にあります。この例はロケットを打ち上げるのですが、自由落下でも式としては同じだと考えます。

dt/dτ = {1-(a/r)}-1/2[1-β2{1-(a/r)}-2]-1/2

(ただし、β≡v/c )

ここで、「シュバルツシルド半径から遠いところ」なら (a/r) ≪ 1 なるので、

dt/dτ = [1-β2]-1/2

という、ミンコフスキー空間と同じになるのは当たり前でしょうね。
自由落下なので、その速度は光速度よりはかなり小さいので、

dτ ≒ dt

から、測地線方程式は

(d2xi/dt2)+Γ00ic2 ≒ 0

となるでしょう。
自由落下では、r方向だけを考えればよいので、

(d2r/dt2)+Γ00rc2 ≒ 0

ですね。ここで、

Γ00r = (1/2)grr(2gr0 ,0-g00 ,r) 

であり、

grr = 1-(a/r) 、gr0 = 0 、g00 = -{1-(a/r)} = (a/r)-1

から、gr0 ,0 = 0 、 g00 ,r = -a/r2 なので、

Γ00r = (1/2){1-(a/r)}(a/r2) ≒ (1/2)(a/r2)

となります。つまり、測地線方程式は

(d2r/dt2)+(1/2)(a/r2)c2 ≒ 0

です。a = 2MG/c2 を代入すると、

(d2r/dt2)+(MG/r2) ≒ 0

なので、

d2r/dt2 = -MG/r2 

という結果になります。
これは、ニュートン力学・重力理論の

f = m(d2r/dt2) ; f = -G(mM/r2)

から求めたものと同じになりますね。
ちょっと強引だったですね。。

テーマ

注目テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(1件)

タイトル (本文) ブログ名/日時
「シュバルツシルド時空での自由落下(シュバルツシルド半径から遠い場合)」を再掲
「シュバルツシルド時空での自由落下(シュバルツシルド半径から遠い場合)」を Tex 風に式を書き直しておきます。 ...続きを見る
T_NAKAの阿房ブログ
2016/12/25 11:29

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
シュバルツシルド時空での自由落下(シュバルツシルド半径から遠い場合) T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる