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前記事の内容で少し疑問があったので、まずはそれについて考えてみたいと思います。 古典的弦の運動方程式の一般解は y(x,t)=Σcnsinknxcosωnt （Σは n=1 から ∞） なのですが、 y(x,t)=(2/Lσ)1/2Σ(2ωn)-1/2{ane-iωnt+a†neiωnt}sinknx （Σは n=1 から ∞） と書くと便利ということでした。 ところで、cn と an 、a†n の関係は具体的にどうなるのでしょうか？ an=i(2σ/L)1/2∫(2ωn)-1/2sinknx{eiωnt∂0y(x,t)}dx a†n=-i(2σ/L)1/2∫(2ωn)-1/2sinknx{e-iωnt∂0y(x,t)}dx という逆関係が求められているので、これらの式に y(x,t)=Σcnsinknxcosωnt を代入してみました。 結果は、 an=a†n=(σωnL)1/2(cn/2) です。形式的には複素数ですが、どうも実数になるようです。というか未だ古典力学の範疇なので、それはそうかもですね。 試しに検算してみると、 y(x,t)=(2/Lσ)1/2Σ(2ωn)-1/2{(σωnL)1/2(cn/2)e-iωnt+(σωnL)1/2(cn/2)eiωnt}sinknx =(2/Lσ)1/2Σ(2ωn)-1/2(σωnL)1/2(cn/2)(e-iωnt+eiωnt)sinknx =(2/Lσ)1/2(σL/2)1/2Σ(cn/2)(e-iωnt+eiωnt)sinknx =Σ(cn/2)(e-iωnt+eiωnt)sinknx =Σcnsinknxcosωnt と辻褄が合いました。 |
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古典的弦の量子化_でやり残したこと（１）
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T_NAKAの阿房ブログ 2011/02/27 22:51 |
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