テーマ:演習 場の量子論

カシミール効果とゼータ関数(5)

このシリーズの最後です。一応最終的なカシミール力が出てきますが、ここにも疑問が残ってしまいました。。 [引用⑭]--------------------  さらにリーマンゼータ ζ(s) の積分表示     、Re(s) > 1 を利用し、ガンマ関数の倍数公式を用いると、カシミールエネルギーは結局 …
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カシミール効果とゼータ関数(4)

ここから本題の繰り込み手法ということになるのでしょう。 あまりやったことがないので計算が合致するかどうか?(前回の記事でも違いが出てきてしまったので。。) [引用⑪]--------------------  ここではプラナの和公式を用いる。  この和公式は本質的にはポアソン和公式と同等なものであり、しかも今の設定では先で考…
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カシミール効果とゼータ関数(3)

「カシミール効果とゼータ関数」を続けますが、どうも私の計算と微妙に異なるのはどうしてでしょう。 [引用⑨]--------------------  F(x) の右辺の積分は言うまでもなく発散している。  そこで意味をつけるためにベータ関数の積分表示を思い出し、丁寧に計算すると、 となる。 ----------…
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「Casimir効果の計算_(2)」をもう少しくだいて再掲

最近、カシミール効果を再勉強しているのですが、ここは少しおさらいの意味で「Casimir効果の計算_(2)」を書き直してみます。 "Casimir effect"の中の「ゼータ正則化を想定したカシミール効果の導出」ところを意識して書いていますので、条件や前提はそちらを参考にして下さい。 [以下再掲(追加内容あり)]=====…
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「基底状態が必ず存在する」という確認_備忘録

益川本「対称性と有限自由度系の基底状態(2)」という記事を書いているのですが、この中の主要な部分を Tex で書き直しておくことにします。 備忘録なので、反論のコメントをいただいても対応できませんので、あしからず。。 まず、元の記事は 益川本「対称性と有限自由度系の基底状態(2)」 http://teenaka.at.we…
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対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構(5-2)

対称性の自発的破れとゲージ相互作用の共存はさらに多大な効果をもたらすとのことで、それについて検討します。 前記事の内容をまとめておくと、 とゲージ固定すると、ゴールドストーン場が取り除かれたことになります。 ユニタリーゲージを採ったあとでは、 となり、第…
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対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構(5-1)

[例題5]に行きます。ヒッグス(Higgs)機構の議論に移ります。 [例題5]================================ ヒッグス機構(その一) 複素スカラー場と電磁場の相互作用を表す Lagrangian における、スカラーポテンシャル が対称性の自発的破れをもたらす(μ> 0) …
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対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構(4)

[例題4]に行きます。 O(N) ゴールドスーン場の非線形表現を求めます。 [例題4]================================ ゴールドスーン場の非線形表現 に相当する ゴールドスーン場の非線形表現を求め、ポテンシャルを計算せよ。 ===========================…
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対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構(3-1)

前問[例題2]の解の最後に書いた南部-ゴールドストーン粒子の数について説明するために、次の例題を検討します。 [例題3]================================ 対称性をもった N 成分のスカラー場の表示 は 代数の生成子、 を用いて、 と書けること…
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対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構(2)

[例題2]に行きますが、これは N 成分の実スカラー場の話で、[例題1]の N = 2 の場合の延長となります。 [例題2]================================ より一般化した対称性の自発的破れを議論する。N 成分の実スカラー場 を考える。(例題1は N = 2 の場合であった。)その …
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対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構(1-3)

前記事で[例題1]の解説は一応済んではいるんですが、展開の仕方は別にもありまして、ここではそれに言及したいと思います。 シフトした場として、 としても良いとのことです。 こうすると、 なので、 から、問題文の を思い出すと、 です。ここで、 から、   …
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対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構(1-2)

[例題1]の続きをやります。「瓶の底から、展開し直せば安定な系を記述できるはず」なので、それをやってみたいと思います。 O(2) 対称性のため真空期待値は Φ1、Φ2 どちらでも採ることができますが、ここではそれを第1成分にして、 と書くことにします。元の複素場では、 となります。 こうすると、 なの…
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対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構(1-1)

この本も最後の節になりました。 前に書いたように、ゲージ場は質量を持つことが出来ませんが、"対称性の自発的破れ"という概念と、それを利用したヒッグス(Higgs)機構によって、ゲージ場は質量を持つことができるとのことです。 そこの事情を例題を解きながら勉強していきたいと思いますが、どうも分かり難いので、字面を追いかけるだけになるかも…
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ゲージ理論とゲージ粒子の質量について

いままで場の量子論としてゲージ理論を勉強していたのですが、どうも数式を追うことが主になり、その意味するところが良く分かっていません。「演習_場の量子論」の最後は「対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構」で、そこまではやる積りですが、その前に少しゲージ理論をおさらいしたいと思います。 比較的分かり易い資料として「ゲージ対称性…
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ゲージ場の量子化(8-2)

例題の後半のBRST変換での不変性の話に移ります。 BRST変換でのヤン-ミルズ場の変換を無限小ゲージ変換 と比べてみると、この変換がゲージ関数を と置いたものであることに注意です。 ( FP ゴースト ca が G-奇であったことを思い出すと、λのために両辺が G-偶になっている。) これよりゲー…
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ゲージ場の量子化(8-1)

この節の最後の例題になります。 [例題]============================== ユークリッド経路積分表示 が、次のように書き換えられることを示せ。 ここで、場 を中西-ロートラップ(Nakanishi-Lautrup)場という。さらに、ソース項 を除いた部分が…
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ゲージ場の量子化(7)

次の例題に行きます。 [例題]============================== 「ゲージ場の量子化(6-1)」での FP 行列式の議論からわかるように、ヤン-ミルズ場の経路積分表示 は無限小ゲージ変換、すなわち結合定数 g が小さい場合の摂動論にのみ有効である。 こうした状況のもとでは、ヤン-ミルズ場…
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ゲージ場の量子化(6-2)

前の例題の続きです。 まず、前記事の結果を書いておきます。 これをナイーブな経路積分の式 に挿入して、逆ゲージ変換を行ってゲージ関数 θ に関する汎関数積分の部分を落とせば、 が得られるとのことです。(実はどうも納得がいかない部分があるんですが、、) ここで、f に関するフレネル積分 …
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ゲージ場の量子化(6-1)

次の例題に行きます。ヤン-ミルズ場を扱います。 [例題]============================== ヤン-ミルズ場の共変ゲージ固定での経路積分表示が で与えられることを示せ。 ==================================== 「ゲージ原理とゲージ場(4-3)」h…
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ゲージ場の量子化(5-2)

Dμν を求めるが残っています。今回はそれを検討します。  前記事の結論を書いておくと、問題文にある式の指数の肩は      となり、 フーリエ変換で考えると、 となる。。 ここで、 とおくと、 から、 …
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ゲージ場の量子化(5-1)[誤り訂正あり]

次の問題に行きます。 [2/12 サンマヤさんのご指摘により内容を訂正しました。] [例題]============================== 電磁場のユークリッド生成母関数が、 と書いたとき、 で与えられることを示し、経路積分を遂行せよ。 ==============================…
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ゲージ場の量子化(4)

前記事「ゲージ場の量子化(3)」の最後の引用での、「今や汎関数積分の発散は、スカラーであるゲージ関数の発散として理解されてしまったから、電磁場の汎関数測度は全ての成分が生き残って共変性を保つことができるわけである。」という最後の部分に続けて、その具体例を見ていくことにします。 [例題]=======================…
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ゲージ場の量子化(3)

次の問題にいきますが、「ゲージ場の量子化(1-1)~(1-2)」の例題と「ゲージ場の量子化(2-1)~(2-2)」の例題の関係を見ていきます。 [例題]============================== 「ゲージ場の量子化(2-1)~(2-2)」の例題の結果をふまえると、「ゲージ場の量子化(1-1)~(1-2)」の例題…
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ゲージ場の量子化(2-2)

前記事の内容を進めます。 まず、前記事の結論を書いておきましょう。 さて、 のゲージ関数に関する解を であるとしましょう。ここで前式で N → ∞ とすれば、 が得られます。積分して、 から(FP行列式を積分の前に出していいのか?少し疑問がありますが)、 が出てきます…
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ゲージ場の量子化(2-1)

次の例題に行きます。 [例題]============================== クーロンゲージ条件 およびローレンスゲージ条件 で、左辺のゲージ場に依る量をゲージ固定項と呼び F(A) と書くことにしよう。さらにゲージ場を AΛ と書く。 このとき、ゲージ関数Λに関する恒等式 …
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ゲージ場の量子化(1-2)

ここではもう一つの式から無限大になることを考えます。 もう一つとは(共変的な積分表示) のことです。 射影演算子は であり、 などとなるから、 です。(う~ん、、ちょっと分からんところがあるなぁ、、) ここでも のため積分は発散します。 [引用…
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ゲージ場の量子化(1-1)

ここから新しい節になります。まず、電磁場の量子化から始めます。 [例題]============================== 経路積分法によって電磁場を量子化しよう。まず素朴に、電磁場の Lagrangian を出発点として経路積分してみよう。 これが、無限大になることを示せ。 ======…
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練習問題(5)_ゲージ原理とゲージ場

練習問題の最後になります。アハラノフ―ボーム効果の最終的説明ですね。AB効果(その四) [練習問題1.5]==================== AB効果(その四)、 もとめるファインマン核は、すべての可能な経路を足し上げたものだから、前問でもとめた K[n]( xf(n), xi ; T) を用いて、 と…
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『場の理論』のながれ

ちょっと古いですが、数学セミナー編集部編「数学の最前線」日本評論社(1990)というインタビューを集めた本がありまして、その中で「場の理論」について江沢洋先生のインタビューがありました。その導入部分の「『場の理論』のながれ」というところを箇条書き的に要約しておこうと思います。なお、これは私の要約ですので、文責は私にあります。 物理…
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