テーマ:演習 場の量子論

練習問題(4)_ゲージ原理とゲージ場

量子論に入ります。AB効果(その三) [練習問題1.4]==================== AB効果(その三)、 量子論に移ろう。議論を精密にするため、円筒内に粒子が入れないことを保証するようにポテンシャル、 V(x)=+∞;x ∈ 円筒内、を Hamiltonian を加えておく。 「ゲージ原理とゲージ…
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練習問題(3)_ゲージ原理とゲージ場

粒子の作用が経路に依ることの確認となります。AB効果(その二) [練習問題1.3]==================== AB効果(その二)、 次にこうした状況の下、時刻 t = 0 で xi から出発して t = T で xf に到達する粒子の作用、 は経路に依ることを示せ。 ===============…
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練習問題(2)_ゲージ原理とゲージ場

まず アハラノフ-ボーム効果 についての問題設定となっています。AB効果(その一) [練習問題1.2]==================== アハラノフ-ボーム効果(Aharomov-Bohm(AB)効果)(その一) 下図のように(無限に)長く、半径が R の円筒の内側に巻き付いたコイルに電流を流したとする。 磁場 B は…
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練習問題(1)_ゲージ原理とゲージ場

練習問題があるのでやってみます。練習問題をやることで アハラノフ-ボーム効果 について勉強する仕組みになっています。 まずは古典論の話から始まります。 [練習問題1.1]==================== 古典力学における荷電粒子の運動を記述する Lagrangian 、 がローレンツ力を導くこと、 …
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ゲージ理論と相互作用のおさらい

ゲージ理論というのは分かり辛いので、概要を自分なりにおさらいします。 これについては、一般相対論との類推で、以前本ブログでも取り上げていたのですが、どうも自分の理解が足りなかったようです。 以前の記事とは  「接続係数とゲージ相互作用(1)」  http://teenaka.at.webry.info/200910/art…
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ゲージ原理とゲージ場(6)

次の例題に行きます。 N 成分複素スカラー場の Lagrangian を考える問題です。一応模範解答のストーリーで書きますが、どうもスッキリしません。 いま話題のヒッグス機構に繋がる話なので、これではちょっといけないのですがね。。 [例題]============================== N 成分複素スカラー場 …
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ゲージ原理とゲージ場(5)

次の例題に行きますが、ヤン-ミルズ場の Lagrangian を考える問題です。 ちょっと、分かり難いんですが。。 [例題]============================== ヤン-ミルズ場の Lagrangian が、 で与えられることを示せ。(a についても和をとっている。) ==========…
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ゲージ原理とゲージ場(4-5)

この例題の最後で、ヤン-ミルズ場の強さのゲージ変換を考えます。 ヤン-ミルズ場の強さは、電磁場の強さ と同様に共変微分 を用います。 さて、 と同じように考えると、 と書けます。これを、 に適用すると、 となります。ここで、両辺に Ta を掛…
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スナイダーの時空量子化(4)

今回は、残った交換関係を求めてみたいと思います。その後の議論はかなりスペキュレーティブなりますので、やはり『量子重力理論とはなにか』(竹内薫著・ブルーバックス)を読んでいただくこととして、このブログではこの話題はお終いとしたいです。 ・ x と py から、 サイクリックに考えて、 …
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ゲージ原理とゲージ場(4-4)

今回は無限小ゲージ変換 の残りと問題のヤン-ミルズ場の強さの部分を検討します。 と、基本表現の共変微分と同じ記号 Dμ を使いましたが、これが妥当かどうか?検討します。 前記事から、 であり、Ta を掛けてトレースをとれば、これも前記事の結果から、 となります。ここで、 という関…
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ゲージ原理とゲージ場(4-3)

今回は無限小ゲージ変換 |θ(x)| ≪ 1 について考えます。 これは、 を θ の1次まで展開し、 とします。 実は、この展開係数が何故 g になるのか?これが良く分からないのです。 これは「ゲージ原理とゲージ場(2-1)」 http://teenaka.at.webry.info/201111/a…
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ゲージ原理とゲージ場(4-2)

まず、Lagrangian の不変性から考えていくことにします。 「ゲージ原理とゲージ場(2-1)」 http://teenaka.at.webry.info/201111/article_31.html のときと同じように U(x) のために(N×N行列の)ゲージ場 Aμ が必要になるでしょう。 ゲージ変換を、 …
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ゲージ原理とゲージ場(4-1)

今回から Yang-Mills 場に触れることになりますが、ここでは、まず例題の引用のみで、解答は後記事からにしたいと思います。 [例題]============================== Lagrangian にゲージ原理 を適用することで、非可換ゲージ場Aμ(x) (以下では、ヤン-ミル…
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ゲージ原理とゲージ場(3-3)訂正あり

特殊ユニタリー群 SU(N) に対しさらに詳しく見ていきます。 特に、リー代数との関係になります。 (あもんさん のご指摘で、計算に誤りがあることが判明しましたので、12/12 その部分を訂正・加筆しました。 ) [引用]============================== 特殊ユニタリー群 SU(N) は、Ta…
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ゲージ原理とゲージ場(3-2)

ユニタリー群のことについてもう少し詳しく見ていくということなのですが、ここはあまり理解できてません。。 前記事の最後の部分を書いておくと、 ということです。 N = 1 のときは、前記事の に対応します。 この場合は(行列式と変換は同じですから) と2種の変換は可換であり可換群と呼ばれます…
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ゲージ原理とゲージ場(3-1)

次の例題に行きますが、これはちょっと手ごわそうです。 [例題3]========================= 同じ質量を持つ N 種類のディラック場 (α=1,2,3,4 はスピノルの成分を表す)を考える。その自由場の Lagrangian の不変性を論じよ。 ================…
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ゲージ原理とゲージ場(2-2)

では、残りの共変微分の問題を検討します。これは、とにかく計算していけば良い種類の問題でしょう。 まず、後半部分を再掲しましょう。 ==================================== を共変微分と呼ぶとき、電磁場の強さ は と与えられることを示せ。 ==========…
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ゲージ原理とゲージ場(2-1)

次の例題をやってみます。どうも教科書とは違う表現になってしまうので、何か勘違いがあるんでしょうね。。 [例題]============================== 自然単位系に戻り、ディラック場の Lagrangian にゲージ原理を適用すると となること、また を共変微分と呼…
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ゲージ原理とゲージ場(1-2)

前の例題の後半が文字数制限でUP出来なかったので、まずその議論をしますが、それだけだと話題が少ないので、ゲージの話を少し付け加えたいと思います。 から、 さて、ここで前記事で示したゲージ不変なシュレディンガーの解釈について「演習 場の量子論」(サイエンス社・柏太郎著)の記述を要約してみます。 …
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ゲージ原理とゲージ場(1-1)

ええと、、経路積分が良く分からなくなってしまったので、場の量子論の勉強を止めていましたが、取り敢えず、次章の「ゲージ場の量子論」に進んでみようと思います。その中で経路積分が出てくるかも知れませんが、そのときはそのときで。。 [例題]============================== Hamiltonian として …
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生成母関数と有効作用(1)

今回から新しい節「生成母関数と有効作用」に入ります。 [例題]======================== 「摂動論とファインマングラフ(5)」 http://teenaka.at.webry.info/201109/article_26.html に示すように、非連結グラフは連結グラフの積で与えられたという事実より、生成母…
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練習問題(5)摂動論とファインマングラフ

最後の問題(5問目)を考えていきたいと思います。 本文では「実スカラー場」で考えていましたが、この問題でフェルミオン場を扱います。 実は、どうも意味が良く分かりません。。そういう積りに見て頂くと有りがたいですね。 [練習問題4]=============================== 自由フェルミオン場の生成母関数は、…
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練習問題(4)摂動論とファインマングラフ

次の問題(4問目)を考えていきたいと思います。 ファインマンパラメータの証明です。 [練習問題4]=============================== 次の式(ファインマンパラメータの公式) を示せ。 =========================================== 普通、…
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練習問題(3)摂動論とファインマングラフ

次の問題(3問目)を考えていきたいと思います。 どうも前問の結果を使う曲面がありそうです。 [練習問題3]=============================== ガンマ関数は、z ~ 0 で、 となることを示せ。次に、これを用いて となることを示せ。 =======…
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練習問題(2)摂動論とファインマングラフ

次の問題(2問目)を考えていきたいと思います。 次元正則化法の公式の証明ですね。 [練習問題2]=============================== 次元正則化法の公式(αは任意の整数、kp=Σμkμpμ、M2≡C2-k2>0 ) を証明せよ。 ============================…
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練習問題(1-2)摂動論とファインマングラフ

では、問題の解答を考えていきたいと思います。 前記事では説明だけだったので、問題自体も再掲しておきましょう。 [練習問題1]=============================== 任意の n×n 行列 M の行列式は と書けることを証明せよ。 ============================…
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練習問題(1-1)摂動論とファインマングラフ

では、この節に付いている練習問題です。 まず、第1問目ですが、問題の紹介とその意味を考えてみたいと思います。 [練習問題1]=============================== 任意の n×n 行列 M の行列式は と書けることを証明せよ。 ==============================…
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摂動論とファインマングラフ(7-2)

一応、問題の解答は前記事で済みですが、(B)式に絡めて前々から懸案だった「発散」問題を考察することになります。 まず、(B)式を再掲します。 さて、もし Lagrangian の質量項が ならば、(B)式の伝搬関数の分母は となります。 ここで、 が有限にあるように A …
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摂動論とファインマングラフ(7-1)

前記事「摂動論とファインマングラフ(6-2)」からこの記事を書くまでの間には実際には2ケ月以上の隔たりがあります。調子の良い時に書き溜めておいたのを小出しにしていたのですが、引出がカラッポになったので、またまた再開します。 実は「場の量子論」に少し飽きてきていて、前のテンポで続けられるか?ちょっと疑問ですが。。 [例題]====…
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摂動論とファインマングラフ(6-2)

前問の続きで、 Γ(p1,p2,p3,p4) の方を同様な計算します。 具体的には を考えます。これを とすると、 となります。ここで、 で、a = b = 1、とし Γ(1) = Γ(2) = 1 に注意すると、 なので、 と…
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