テーマ:場の理論計算

ディラック場の練習問題(7)

本来ならディラック場_(22)問題9の再掲とすべきでしょうが、ここは虚心坦懐に考えてみましょう。 [問題]==================================== 次の関係を導け: ========================================== これはカイラリティを表…
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ディラック場の練習問題(6)

本来ならディラック場_(21)問題8の再掲とすべきでしょうが、ここは虚心坦懐に考えてみましょう。 [問題]==================================== 無視できるほど小さな質量をもったフェルミ粒子が、\(z\)方向に動いているとき、ヘリシティー \(\lambda\) をもったディラックスピノール…
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ディラック場の練習問題(5)

本来ならディラック場_(20)問題7の再掲とすべきでしょうが、ここは虚心坦懐に考えてみましょう。 えーと、未だにヘリシティーとカイラリティーというのは良く理解していません。 [問題]==================================== スピン \(\frac{1}{2}\) をもった粒子のヘリシティー演…
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ディラック場の練習問題(4)

本来ならディラック場_(17)問題4の再掲とすべ きでしょうが、ここは虚心坦懐に考えてみましょう。 [問題]==================================== 相異なったスピン \(s\) と \( {s}'\) に対し を導け ==============================…
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ディラック場の練習問題(3)

本来ならディラック場_(16)問題3の再掲とすべきでしょうが、ここは虚心坦懐に考えてみましょう。 [問題]==================================== ディラックの方程式について、 を証明せよ。ただし であり、 \(E_{p}\) は運動量 \(\boldsymbol{…
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ディラック場の練習問題(2)

本来ならディラック場_(15)問題2の再掲とすべきでしょうが、ここは虚心坦懐に考えてみましょう。 [問題]==================================== (1)連続の方程式 を導け (2)また を確認せよ。 ============================…
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「ディラック場_(14)次の問題の準備」を再掲

ディラック場_(14)次の問題の準備を再掲してみたいと思います。(順序が多少おかしくなっていますが、再掲の時点で少し内容を変えているからです。) 「ディラック場_(2)ディラックの共役場」を再掲で、\(\overleftarrow{\partial }\) という記号を準備無しに使っていましたが、これについてもう少し掘り下げて…
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「ディラック場_(12)全電荷」を再掲

ディラック場_(12)全電荷を再掲してみたいと思います。 前記事と同じようにして、全電荷の演算子についても求めておきましょう。 \(Q=e\int d^{3}x\: \psi ^{\dagger }\psi \) を計算することになります。 (この式の"\(e\)"は素電荷なので、ネピア数とは違いますよ。。) …
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「ディラック場_(11)全運動量」を再掲

ディラック場_(11)全運動量を再掲してみたいと思います。 全運動量の演算子を求めておきます。\(\boldsymbol{P}= \int d^{3}x\: \psi ^{\dagger }(-\nabla\psi )\) 計算することになります。 なので、 になります。なので、 …
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「ディラック場_(10)粒子像(つづき)」を再掲

ディラック場_(10)粒子像(つづき)を再掲してみたいと思います。 前記事で求めたハミルトニアン \(H\) は生成・消滅演算子の反交換関係を使っていないので、マイナスの符号があり、粒子数演算子の組み合わせでは表現されていませんでした。 そこら辺を考えてみます。 まず、前記事の結論を書いておくと …
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「ディラック場_(9)粒子像」を再掲

ディラック場_(9)粒子像を再掲してみたいと思います。 ここで、ハミルトニアン \(H\) を生成・消滅演算子で表すことを考えます。 今、参考にしている本では「質量項」と「運動項」に分けて話を展開しているのですが、これが良く分からないので、『演習 場の量子論』(柏太郎著_サイエンス社)を参考に考えていきます。 さて、ハ…
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「ディラック場_(8)ちょっと補足」を再掲

ディラック場_(8)ちょっと補足を再掲してみたいと思います。 \(u\) 同士および \(v\) 同士の関係は求めてますが、 \(u\) と \(v\) とではどんな関係があるのでしょう? 前記事で \(u\) と \(v\) の解の形を求めたので、直接調べることが可能ですから、これを確認してみます。 実は、ハミルトニアン…
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パウリ行列のおさらい(4)

今おさらいをしている「場の理論計算入門」に次のような問題がありました。 [問題]------------------------------------------------------------------- パウリ行列を用いて、関係       を導け。 ------------------------…
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パウリ行列のおさらい(3)

最後にパウリ行列を4個の積を考えてみます。 ここではケース分けを考えずに2個づつの積の積を考えます。                 ここで、     なので、       となるようです。(計算がゴチャゴチャとしているので間違いがあるかも知れません。。) トレースは…
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パウリ行列のおさらい(2)

ここではパウリ行列を3個の積を考えてみます。 ① 3個がすべて同じ場合    つまり同じものになります。 ② 隣り合う2個が同じで、もう1個が異なる場合      つまり異なるものと同じものになります。(←変な文章だな。。) ③ 両脇の2個が同じで、真ん中の1個が異なる場合  説明のため…
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パウリ行列のおさらい(1)

最近またディラック場を勉強し直してるのですが、ガンマ行列というよりパウリ行列を上手くハンドリング出来ません。なので、備忘録という意味で初歩的な計算を書いておきます。 これらの関係を図にしてみました。 ここでトレースを考えると、 …
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「ディラック場_(7)ディラック方式の解」を再掲

ディラック場_(7)ディラック方式の解を再掲してみたいと思います。 正と負の振動数をもった解 \(u_{s}(\boldsymbol{k})\) と \(v_{s}(\boldsymbol{k})\) を具体的にもとめておきましょう。 基本的に量子力学のディラック方程式の解と同じなので、特に目新しいものではないですが。。 …
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「ディラック場_(6)射影演算子」を再掲

ディラック場_(6)射影演算子を再掲してみたいと思 います。 ディラック方程式は正と負の振動数をもった解を含んでいるので、正だけの振動数や負だけの振動数をもった解を取り出す射影演算子を定義しておくと便利なので、それについて勉強です。 この本の中では後で出てくることはないようなのですが。。 前提として、\(\not{k}^…
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「ディラック場_(4)量子化された場」を再掲

ディラック場_(4)場の量子化を再掲してみたいと思います。 展開された場の式が提示されているので、それに対する勉強です。 天下りですが具体的には \[ \psi(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\sum_{s=1,2}\int d^{3}k\left(\frac{m}{E_{k}}\right)^{…
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ディラック場の練習問題(1)

ここでディラック場に関する簡単な練習問題をやりたいと思います。 -- --------------------------------------------------------- ディラック方程式 \[ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi(x)\equiv(i\not{\par…
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「ディラック場_(3)場の量子化」を再掲

ディラック場_(3)場の量子化を再掲してみたいと思います。 ディラック場の量子化についてどのようにすればよいか?いままでの場合のように、正準形式理論から交換関係をデルタ関数で結びつけることは出来ないようです。 結論から言うと、反交換関係 \[ \left\{\psi\left(\boldsymbol{x},t\r…
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「ディラック場_(2)ディラックの共役場」を再掲

やはり数式表示が不完全なので、ディラック場_(2)ディラックの共役場を再掲してみたいと思います。 ここでは4成分の量 \(\psi_{\alpha}\left ( x \right )\; \; \; \left (\alpha =1,2,3,4\right)\) の共役量の定義をしておいた方が後々楽になるということで、考…
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「ディラック場_(1)方程式とガンマ行列」を再掲

行列の表示がおかしくなっているのでディラック場_(1)方程式とガンマ行列を再掲したいと思います。 相対論的場の量子論で最も重要な Dirac の場について考えてみましょう。 まず、ディラックの方程式から。 4成分の量 \(\psi_{\alpha}\left ( x \right )\; \; \; \left (\a…
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φ4乗理論について(2)

前記事で求めたラグランジアンで方程式を導出します。 ラグランジアンは \[ \mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}\mu^{2}\phi^{2}-\frac{1}{4!}\lambda\phi^{4} \] なので、…
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φ4乗理論について(1)

本来なら、Pythonシリースを書くべきですが、[MIT]コンピュータサイエンスとプログラミング入門(Part1)の修了確認テストに挑戦して修了証書を貰ってしまい、モチベーションが下がってしまいました。 なので、ちょっとお休みして、よく分からなかった φ4 理論を勉強したいと思います。 教科書は「完全独習量子力学_前期量…
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微視的因果律(micro causality)について(3)

前記事の続きを考えることにします。 さて、   で、 とおく場合を考えます。   から、       第2項積分の積分変数を とすると、 から       となります。つまり、同時刻で空間的に離れている事象は「空間的」な訳*で、その場合の任意の2つの物理量は交換するということになります。 さらに、 と書…
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微視的因果律(micro causality)について(2)

ここでは前記事の結論式を少し変形することを考えます。(具体的には荷電スカラー(擬スカラー)粒子(5)の再掲ということになります。) 前記事の結論式は   ですが、これが、   と変形されるというのですが、まずこの証明を考えることにします。 まず、符号関数 の定義を明確にしておきましょう。 >  のとき …
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微視的因果律(micro causality)について(1)

これは荷電スカラー(擬スカラー)粒子(4)の再掲ですが、今回のシリーズ書き直しに伴って少し表現を変えましょう。 この微視的因果律(micro causality)ということですが、教科書では、「任意の2つの物理量が互いに空間的に離れたところで交換することをいう」と表現しています。 まあ、(ミンコフスキーの意味で)空間的に離れてい…
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荷電スカラー(擬スカラー)粒子における荷電演算子と連続の方程式

これは荷電スカラー(擬スカラー)粒子(3)の再掲ですが、今回のシリーズ書き直しに伴って少し表現を変えましょう。 今回はただのスカラーと違い電荷が存在しますから、「荷電演算子」を考えなければいけません。 これは、   で表わされます。 「荷電スカラー(擬スカラー)粒子(2)」を再掲(その1)の結果から、   なので、荷電…
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