テーマ:おさらい相対論

落下に角運動量を加味する

今回もまた「続・相対論の正しい間違え方」の「ブラックホールは星を砕くか?」の数式を検討するのですが、最初はニュートン力学の範疇の話題なので、まずは「おさらい」というスタンスで勉強していきます。 質点 (\(m\)) がBH( \(M\)) に落下する場合、質点がBHの周りを公転しないなら、重力のみなので、   というこ…
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潮汐力のおさらい

今回は「続・相対論の正しい間違え方」の「ブラックホールは星を砕くか?」の数式を検討するのですが、最初はニュートン力学の範疇の話題なので、まずは「おさらい」というスタンスで勉強していきます。 設定:物体が1点の特異点に集中している質量 \(M\) の BH から距離 \(r\) だけ離れた質量 \(m\) の物体と、そこからさらに …
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BHと光速度_続・相対論の正しい間違え方を読むために(6)

前回の続きです。 今回は重力場の中の粒子の運動について考えます。 静的な場では \(ds^{2}= g_{00}(dx^{0})^{2}-dl^{2}\) となり、固有時間で計った、すなわち、与えられた点にいる観測者の粒子の速度   を導入すると、\(Schwarzschild\) 計量では          …
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BHと光速度_続・相対論の正しい間違え方を読むために(5)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」の P63で扱っている式 (6.18) について考えてみます。 具体的には、   ですが、導出が良く分かりません。参考文献を見ると、有名な『場の古典論』が上がっていたので、そちらを参考にして考えます。 まず、「続・相対論の正しい間違え方」の P62の    を少し表現を替え…
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BHと光速度_続・相対論の正しい間違え方を読むために(2)

前回の続きです。 今回は光ではなく、物体が落下する場合を考えます。 まず、設定として 「BHの中心より距離 \(r_{a}\) 離れた場所から速度ゼロで落下し始めた物体を、距離 \(r_{b}\) まで観測した場合、この落下を \(r_{a}\) の位置に留まってみた場合の経過時間を \(t_{a \to b}\) とし、とも…
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LaTeXの練習(5)

今回は④です。 [④]---------------------------------------------- 5.結論 さて『定数 \(K\) 』とは何でしょうか? 仮に、\(K=0\) としてみると、式(17)(18)(19)は \[ {x}'=x-vt \] \[ {t}'=t …
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BHと光速度_続・相対論の正しい間違え方を読むために(1)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」の P60~64 辺りで扱っている数式について考えてみます。 \(Schwarzschild\) 計量を西海岸方式で書くと   BH外側の任意位置の場所に留まっている観測者にとっては、\( r,\theta ,\phi\) はすべて一定なので、その固有時は   なので、…
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LaTeXの練習(4)

今回は③です。 [③]---------------------------------------------- 4.定数を想定 式 (14) では左辺 \(=v\) のみの関数、右辺 \(=u\) のみの関数ということになります。これが等号で結ばれているということは、式(14)の示す値が『定数』であることを…
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重力ポテンシャルのまとめ

今回は「続・相対論の正しい間違え方」の P55~60 辺りで扱っている重力ポテンシャルについて前記事で計算しましたので、ここでまとめておきたいと思います。 1)ニュートン力学での重力ポテンシャル   2)ニュートン力学での星内部の重力ポテンシャル      2.1) とすると      3…
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LaTeXの練習(3)

今回は②です。 [②]---------------------------------------------- 3.複数の慣性系間の関係 再度、変換式を書いておきましょう。 \(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}'\) 系: \begin{equation} …
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Schwarzschild 時空での重力ポテンシャル

今回は「続・相対論の正しい間違え方」59ページの式 (6.9) を導出しようした記事です。 懸案の式は   です。 自然対数が出てくるところを見ると Schwarzschild 計量を求めたときに と に指数関数にしたところから考える必要があるかもしれません。ここで Schwarzschild 計量を再度求めるのは…
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「カルーツァ理論の練習問題」の再掲

「カルーツァ理論の練習問題」の主要部分を Tex で書き直してみます。 [問題]------------------------- 5次元時空の線素   から始めて、これが     という変換で不変なことを確かめよ。 ------------------------------         つまり…
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LaTeXの練習(2)

前記事ではpdfのイメージしか示せませんでしたが、MathJax を適用すると少しの手直しで内容が表示できるようです。 ブログにするとちょっと長いので、数回に分けてUPします まず①です。 [①]---------------------------------------------- ロ-レンツ変換を導出する…
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ニュートン近似のおさらい

後記事の内容を考えて表題の件について考えておきます。 自由粒子のラグランジアン     なら     ポテンシャルを加味すると   なので、重力場の中の粒子に対する非相対論的作用 は   これと、 と比べると   なので、            となり、   …
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重力ポテンシャルのおさらい

今回は「続・相対論の正しい間違え方」56ページの式 (6.2)を導出しようした記事です。 これは相対論というよりニュートン力学の話題ですが、備忘録として残しておきます。 ・質点が作る重力ポテンシャル   位置 にある質量 の質点が位置 に作る重力ポテンシャル は    で与えられます(無限遠点を基準とする)…
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LaTeXの練習(1)

いつもブログにおける数式は、この Online LaTex Equation Editor で作成していますが、私が卒業研究で論文を書いたときは手書きだったので、正式に LaTeX なんかを勉強したことはありません。そこで今年7月にブルーバックスから「LaTeX 超入門 ゼロからはじめる理系の文書作成術」出ているので、ちょっと目を通して…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(7)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」47ページの式 (5.5) と (5.6) を導出しようした記事です。現時点ではうまくいきませんでした。 元となる方程式は   から   ですが、 および 「ドップラー効果か?宇宙論的赤方偏移か?」から なので、   から    ここから、天体から光を放射した…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(6)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」16ページの式 (2.3) を導出しようした記事です(軽いネタです)。 具体的には、   を前提に、時刻 の固定端から距離 に乗った人のその後の速さは   となるということですが、この本では「式 (2.2) を時間 で積分して変形すればよい」と書いてありますが、ピン…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(5)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」9ページの図1.2と11ページの図1.3を描くことができるか?を検討します。 具体的には宇宙の時間発展モデル例   を数値計算で解いてみたいと思います。 手法としては簡単なオイラー近似を使いましょう。いまさらですが、オイラー近似では   です。初期値 はゼロだと右辺が発散して…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(4)

ここでは「続・相対論の正しい間違え方」9ページの図1.2のグラフの解説という位置づけです。 これには、まずこの本の2ページにある    に注目します。ここで、   と仮定すると (1.5) 式は   となり、まとめると   であり、この微分方程式をさらに抽象化したものはまさに 「ある微分方程式(1)…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(3)

今回は「地平線問題」に入っていきます。この話題は概念的には分かるんですが、なかなか他人様に説明できるほど分かってないのです。 ここでは「続・相対論の正しい間違え方」9ページの   という式を考えてみます。 まず、現在の宇宙の年齢は138億年なので、138億光年先とは情報交換できません。この本の9ページに書いてある状況: …
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(2)

前記事で一応アインシュタインの宇宙観は守られました(詳しい内容は「続・相対論の正しい間違え方」をご覧ください)。ただ、ここでは数式を追うのが目的なので、「ドジッターの解」を考えてみたいと思います。間違えてはいけないのは「アインシュタイン-ドジッター宇宙モデル」とは異なることです。真面目に考えると「宇宙の未来について(1)」で正の宇宙定数…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(1)

「続・相対論の正しい間違え方」の宇宙論編の数式をちょっと追いかけてみたいと思います。   ただし       (1.1) このアインシュタイン方程式に「宇宙の一様等方性」という条件を入れると       この導出過程は大体「ロバートソン・ウォーカーの計量のおさらい」に書いて通りです。ただ今回は西海岸方式を使って…
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平なFLRW空間のリッチテンソル計算

『「フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量」のwikipedia(2)』の計算確認です。「宇宙の計量の計算(1)」「宇宙の計量の計算(2)」を参考にします。 計量:       計量要素の偏微分は         クリストッフェル記号   よって、α=t の場合 …
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