テーマ:おさらい相対論

通信総合研究所での実験結果を計算する

「時間はどこから来て、なぜ流れるか?」の「第1章 時間はどこにあるのか」の冒頭部分で通信総合研究所(現在の情報通信研究機構)で行われた啓蒙的実験について触れられています。実験の詳細については、この本をお読みになっていただきたいです。この記事ではこの実験結果が一般相対論に合致しているだろうということを確かめるために計算してみました。 …
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測地線方程式が見慣れたものとちょっと違うなぁ

測地線方程式というと、クリストッフェル記号が入っているものが紹介されてますが、次式とクリストッフェル記号が入っているものが同じなのか?検討します。   この式の左辺を変形していきます。            右辺も考慮して変形すると、   なので、   となり、クリストッフェル記…
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「測地線方程式」のパラメータを線素にとる

求めた測地線方程式の形が複雑なのでパラメータを線素にとることを考えます。 まず、前に求めた測地線方程式を再掲します。   ここで、   なので、   であり、   から   つまり、   時間次元を含めて   となり、   という関係から   が言…
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「測地線方程式」の数式の検討

前記事の後半の計算をもう少し検討してみたいと思います。           ですが、          から、      第2項積分は         から、      となり、被積分関数をゼロとおくと、最後の式が導出できます・  
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測地線方程式

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはTHE GEODESIC EQUATION を読みます。 ロバートソン=ウォーカー計量に時間を追加する   意味: の場合、これは、2つの事象が同時に発生する局所自由落下する観測者によって測定された空間距離の2乗である。 の場合、…
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非ユークリッド空間入門(1)

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはINTRODUCTION TO NON-EUCLIDEAN SPACES の後半を読みます。 ユークリッド幾何学の公理 1.任意の2点を結ぶ直線線分を描くことができる。 2.直線線分は、直線上で無限に延長できる。 3.直線線…
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均一膨張の動力学を終えた後

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはINTRODUCTION TO NON-EUCLIDEAN SPACES (After finishing dynamics of homogeneous expansion)を読みます。 講義9の概要 閉じた宇宙の進化: 一次のオー…
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均一膨張の動力学 Ⅴ

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはDynamics of Homogeneous Expansion, Part Ⅴ(last)を読みます。 概要 平坦な物質支配の宇宙の時代:   の場合、年齢 = 95〜99億年 — しかし星はもっと古い。 結論:我々の…
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均一膨張の動力学 Ⅳ

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはDynamics of Homogeneous Expansion, Part Ⅳを読みます。 要約 : 方程式  必要 : 時刻 における殻(初期状態 )の半径   発見 :  、 ここで   フリードマン方程式     …
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測地線方程式のちょっとしたおさらい

ちょっと、発作的に測地線方程式導出を考えます。「時空の力学」の P26~28 あたりを参考にしました。 等価原理から、自由落下する物体の近傍時空では局所慣性系(ミンコフスキー座標 )がとれて、重力は消去されて、物体は等速運動します。よって運動方程式は   ここで固有時は   で定義されます(東海岸方式を採…
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均一膨張の動力学 Ⅲ

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはDynamics of Homogeneous Expansion, Part IIIを読みます。 要約:数学モデル!   ≡ 初期時間   ≡ 初期最大半径   ≡ 初期質量密度   ★ 殻のニュートン重力:    …
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(粒子)地平線について

「地平線問題」というのが良く分かってないのですが、そもそも「地平線」が分かってないので、「阪大物理学オナーセミナー (担当:久野、長島):Note 7 平成 19 年 12 月 6 日」の7ページを読んで勉強してみました。 [引用1]-------------------- 観測者に影響を及ぼすことのできる (因果関係にある) …
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均一膨張の動力学

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはDynamics of Homogeneous Expansionを読みます。 均一膨張の動力学 レビュー:質量の均一な無限分布は安定しているか? 重力場のガウスの法則:   ポアソンの方程式:   ここで、 …
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【高さ450m展望台 時間速く進む】(2)

さて、ここでは、 「高さ450メートルの東京スカイツリー展望台の時間は地上よりも1日に10億分の4秒速く進んでいる」というのが計算で求まるのか?ということにトライしてみましょう。 前記事の結果を再掲すると   なんですが、速度 v に関しては地上と高さ450メートルの東京スカイツリー展望台の自転の角速度は同じなんですが…
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【高さ450m展望台 時間速く進む】(1)

「時間速く進むスカイツリー展望台 10億分の4秒、相対性理論実証」というニュースが飛び込んできて、コロナ騒ぎが無かったら、結構話題になっただろうと思います。 ブログ主は相対論関連の話題が好きなので、ここで取り上げたいと思います。 どういうことかというと、リンクをはった記事から引用すると、  「高さ450メートルの東京スカイ…
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朝カル立川教室「ダークマター・ダークエネルギーを深掘りする」受講記録

掲題の講座を受講してきましたので、自身の記録として記事にしておきます。 講座名 : ダークマター・ダークエネルギーを深掘りする 講座案内 : ダークマター、ダークエネルギーというキーワードは、その語感からか、多くの人々の口に上ります。ただし、それらの概念がなぜ必要なのか、どういう役割を果たすものなのかについて、真に関心を…
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宇宙論のおさらい(3)

前記事の(5)式を再掲しましょう。   未来の宇宙膨張のことを考えると、   これにいろいろなパラメータを入れて解くと、 宇宙の未来について(1)  宇宙の未来について(2) 宇宙の未来について(3) 宇宙の未来について(4) ということになります。グラフを描くことを考えたのが次の記事です。…
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宇宙論のおさらい(2)

ここで、ハッブルの法則を考えます。 天体が我々から遠ざかる速さ(後退速度)を 、我々からその天体までの距離を とすると、   で、 はハッブル定数といいます。定数といってますが、時間で変化して   とも考えられます。現在つまり でのみ定数と見えているのかも知れません。とりあえず、この法則が成立すると…
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宇宙論のおさらい(1)

朝カル立川教室で「ダークマター・ダークエネルギーを深掘りする」の受講を計画しています。 その前に、ここでやった宇宙論をまた一通りおさらいしておきたいと思います。 まず、宇宙原理「宇宙のあらゆる点は特殊な位置にない」砕いていうと「宇宙の一様等方性」から宇宙モデルを考えてロバートソン=ウォーカー計量を求めます。 これを、「一般相対…
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キリング方程式をもう一度おさらい(2)

この記事は「キリング方程式についてちょと勉強(2)」とほとんど同じなるかも知れませんが、虚心坦懐に新たな気持ちで書いてみます。教科書は「一般相対論入門」です。 前記事の結論を添え字を整理して書き換えると     となります。さて共変微分は   なので、最初の式に適用するために全体に計量テンソルをかけると …
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キリング方程式をもう一度おさらい(1)

標題の「キリング方程式」については、「キリング方程式についてちょと勉強(1)」「キリング方程式についてちょと勉強(2)」という記事を書いていますが、忘れてしまったのでまたまたおさらいです。教科書は「一般相対論入門」です。 [前記事からの引用]--------------------------------------- …
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「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」の再掲

さらに「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」も再掲したいと思います。 基底ベクトルの具体的な形を考えてみました。 まず、図を見て下さい。 と の成す角度を とし、 を直交座標の の方向にとることにします。さらに という条件から、直交座標で表すと、   と図から、仮の正の実数を として、…
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「共変成分でベクトルを表わす」の再掲

「共変成分でベクトルを表わす」も再掲したいと思います。 ベクトルAを共変成分の和で表わすとどうなるでしょう? 反変成分の場合と同じように考えましょう。つまり、   となるでしょう。 ただ、反変成分の場合と異なるのは の長さが ではなくなります。 [注]---------------------…
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