テーマ:おさらい相対論

「潮汐力を一般相対論で求める_(3)」を再掲

「潮汐力を一般相対論で求める_(3)」を書き直して再掲します。 前記事の計算は、『相対論に必要な数学』(大場一郎著、物理数学OnePoint12、共立出版)を参考にしました。 ところで、『時空の力学』(細谷暁夫著、岩波講座_物理の世界、岩波書店)にも(導出過程は書いてありませんが)同じ内容の式が出ていました。実は、私の持っている…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

「潮汐力を一般相対論で求める_(2)」を再掲

「潮汐力を一般相対論で求める_(2)」を書き直して再掲します。 前記事では、測地線と測地線偏差が従う式を導きました。 次に「測地線偏差」を共変微分するとどうなるかを考えます。(これは最終的に \(\Gamma\) を曲率でまとめる意図があるためです。) まず、1階微分(座標でなくパラメータ \(\tau\) で共変微分して…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

「潮汐力を一般相対論で求める_(1)」を再掲

「測地線偏差の方程式」「潮汐力とリーマンテンソル」という潮汐力関連の記事を書いているのですが、それより以前に「潮汐力を一般相対論で求める_(1)、(2)、(3)」という記事を書いています。ここで、これらの記事に矛盾がないかどうか?を確認するため、まず「潮汐力を一般相対論で求める_(1)」を書き直して再掲します。 「測地線偏差」とい…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

「近日点移動についておさらい」のリンク

"Bertrand's theorem"関連で、過去に書いた「近日点移動についておさらい」の記事のリンク集を書いておきます。 (各々の記事で数式表示がおかしくなっていたので、書き直しておきました。) 近日点移動についておさらい(1) 近日点移動についておさらい(2) 近日点移動についておさらい(3) 近日点移動についておさ…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

前記事の「導出」部分の数式を追ってみる(1)

前記事の内容が分かりにくいので、もう少し考えてみます。 まず、動径方向の力は中心力と遠心力からなるので ここで「運動の恒量」は角運動量 \(L=mr^{2}\omega \) なので、 つまり、 さらに、 を使うと、 なので、運動方程式は で、もう少しまとめると …
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

"Bertrand's theorem"の Wikipedia を訳してみる

「とね日記」さんの「三体問題 天才たちを悩ませた400年の未解決問題:浅田秀樹」を拝見して興味を持ち読んでみました。大変面白かったですね。この本については「とね日記」さんの該当記事を読んでいただけると良いと思います。 この本を読んでいて、色々と知らないことがあって、まずバートランドの定理に引っ掛かりました。 よって、"Bertr…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

クルスカル座標入門(3)

①②の表現と③との関係は前記事で分かりましたが、どちらを主力に勉強したらよいのか?迷うところです。ペンローズ図に繋がるのは③なんですが、まずは①②の表現を確認していくことにします。つまり、 ただ、このとおりの表現だと という範囲を示しています。ところで \(\cosh ^{2}\alpha -\sinh ^{…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

クルスカル座標入門(2)

①②の表現と③はどのように異なるのか?、亀座標表現を元に戻していきたいと思います。 まとめると、 で、①と②で示した \(u,v\) とは少し異なるようです。  しかし、 から という関係があることが分かりました。つまり、 で45°回転させたもののようですね。 …
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

クルスカル座標入門(1)

クルスカル座標系はシュヴァルツシルト時空の表現の一つですが、何となく避けていました。今回ペンローズ図関連で必要かも知れないので勉強したいと思います。 私が主に参考にしている本で、「クルスカル座標」に触れているのは ① 「時空と重力」藤井保憲 ② 「相対論」平川浩正 ③ 「時空の力学」細谷尭夫 です。①と②では(表現…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

シュバルツシルド時空での自由落下を再考

『「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲』での計算を再考します。 \(d\theta = d\phi = 0\) 、シュバルツシルド半径を \(a\) として、計量を書くと となります。東海岸方式なので、 から ですが、\(t\) と \(r\) の2次元時空の測地線の条件: …
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

「ペンローズ図を描くには。。(2)」を再掲

「ペンローズ図を描くには。。(2)」を書き直します。 前回の記事では言葉のみでイメージが掴めないので、その図を描いてみます(野球のダイアモンド型になります)。 光の経路の未来向きの行き先(\(p\pm q= \pi \) )を \(\mathcal{I}^{+}\)(スクライプラス) 光の経路の過去向きの行き先(\(p\p…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

「ペンローズ図を描くには。。(1)」を再掲

「ペンローズ図を描くには。。(1)」を書き直します。 相対論で因果関係が一目で分かるコンパクトな図法ということで、「ペンローズ図」というのがあるそうです。 ちょっと見ただけでは何のことか分からないですが。。 まず、有限な定義域を持つ座標を \((p,q)\) を導入します。 \(-\pi\leq p \leq \pi,\:…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

ハーヴァード塔実験

"Harvard Tower Experiment" を訳してみます。 なお Wikipedia では Pound–Rebka experiment という記事に書かれています。この中に写真があるのですが「塔」という感じはしませんね。。  ------------------------------------ ハーヴァード塔…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

重力赤方偏移

特に目新しいことはないのですが、"Gravitational Red Shift" を訳してみます。 ------------------------------------ 重力赤方偏移 一般相対性理論おける等価原理によれば、放射源の加速から生じることが示される周波数偏移は、適切な重力場によっても生成される可能性がある。…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

太陽質量のブラックホールが蒸発するのにどの位の時間が必要か

先週 「島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を再掲 という記事を書いたのですが、問題2の「太陽質量のブラックホールが蒸発するのにどの位の時間が必要か」という問いに対する答えが wikipedia と違うので、ここで考えてみます。 ホーキング輻射理論でブラックホールの絶対温度は であり、ステファン=ボルツマ…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

「島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を再掲

「島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を再掲したいと思います。 ネットをググっていたら掲題の(望月准教授の研究室のページからいただいた)レポート問題に当りました。 物理的意味は別にして、これを解くには微分方程式の初歩の知識(変数分離)があれば十分なので、閑話休題というところで、やってみたいと思います。 物理…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

地平線問題の論文を読んでみる(5)

The Horizon Problemの "6. Cosmological horizons for CMB" に入ります。 --------------------------------------------- 6. CMBの宇宙論的地平線 等方性は宇宙マイクロ波背景放射(CMB)によって示され、等方性が均一性を保証…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

地平線問題の論文を読んでみる(4)

The Horizon Problemの "5. Solutions to the Horizon problem" に入ります。 --------------------------------------------- 5. 地平線問題の解決策 地平線の問題を解決するために、いくつかのアイデアが文献に登場しました。 よ…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

地平線問題の論文を読んでみる(3)

The Horizon Problemの "3. Types of Horizons" に入ります。 --------------------------------------------- 3. 地平線の型 固有距離は、基本または慣性系観測者によって測定された、固有時 \(t\) での2つの同時事象間の距離として定義さ…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

地平線問題の論文を読んでみる(2)

The Horizon Problemの "2. The standard model of cosmology" に入ります。 --------------------------------------------- 2.宇宙論の標準モデル 相対論的宇宙論は本質的にこれらの3つの成分に基づいています[2]: ● 宇宙…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

地平線問題の論文を読んでみる(1)

地平線問題というのは分かったつもりでも他人には上手く説明できない状態です。もう少し勉強したいと思いThe Horizon Problemを読んでみることにしました。 章立ては次のとおりです。 --------------------------------------------- Abstract. 1. Introdu…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

「速習一般相対論_(4)」再掲

「速習一般相対論_(4)」を再掲します。 このシリーズも今回で終わりです。つまりアインシュタイン方程式までということですね。 [ポアッソンの方程式] ニュートン力学では、物質の質量分布 \(\rho\) によって、それの作る重力ポテンシャル \(\phi\) は の解として与えられます。 [重力場方程式への試行…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

「速習一般相対論_(3)」再掲

「速習一般相対論_(3)」を再掲します。 ここから所謂時空の曲がりの幾何学を考えましょう。 普通だと「ベクトルの平行移動」→「共変微分」→「リーマン曲率テンソル」というストーリーとなります。 ほぼ同じストーリーですが、少し近道をします。 [ベクトルの平行移動] ベクトルを測地線に沿って「平行移動」することを考えます。具…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more

「速習一般相対論_(2)」再掲 

「速習一般相対論_(2)」を再掲します。 「測地線の方程式」が分かるとそれだけである程度の議論が出来ます。 いわゆる「ニュートン近似」も曲率テンソルやその前提となる共変微分の知識が無くても説明できます。 その前に、クリストッフェル記号には次のような表現があることを付け加えておきます。 [遅い粒子の弱い重力場における運…
トラックバック:0
コメント:0

続きを読むread more