テーマ:おさらい相対論

宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(6)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」16ページの式 (2.3) を導出しようした記事です(軽いネタです)。 具体的には、   を前提に、時刻 の固定端から距離 に乗った人のその後の速さは   となるということですが、この本では「式 (2.2) を時間 で積分して変形すればよい」と書いてありますが、ピン…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(5)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」9ページの図1.2と11ページの図1.3を描くことができるか?を検討します。 具体的には宇宙の時間発展モデル例   を数値計算で解いてみたいと思います。 手法としては簡単なオイラー近似を使いましょう。いまさらですが、オイラー近似では   です。初期値 はゼロだと右辺が発散して…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(4)

ここでは「続・相対論の正しい間違え方」9ページの図1.2のグラフの解説という位置づけです。 これには、まずこの本の2ページにある    に注目します。ここで、   と仮定すると (1.5) 式は   となり、まとめると   であり、この微分方程式をさらに抽象化したものはまさに 「ある微分方程式(1)…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(3)

今回は「地平線問題」に入っていきます。この話題は概念的には分かるんですが、なかなか他人様に説明できるほど分かってないのです。 ここでは「続・相対論の正しい間違え方」9ページの   という式を考えてみます。 まず、現在の宇宙の年齢は138億年なので、138億光年先とは情報交換できません。この本の9ページに書いてある状況: …
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(2)

前記事で一応アインシュタインの宇宙観は守られました(詳しい内容は「続・相対論の正しい間違え方」をご覧ください)。ただ、ここでは数式を追うのが目的なので、「ドジッターの解」を考えてみたいと思います。間違えてはいけないのは「アインシュタイン-ドジッター宇宙モデル」とは異なることです。真面目に考えると「宇宙の未来について(1)」で正の宇宙定数…
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宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(1)

「続・相対論の正しい間違え方」の宇宙論編の数式をちょっと追いかけてみたいと思います。   ただし       (1.1) このアインシュタイン方程式に「宇宙の一様等方性」という条件を入れると       この導出過程は大体「ロバートソン・ウォーカーの計量のおさらい」に書いて通りです。ただ今回は西海岸方式を使って…
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平なFLRW空間のリッチテンソル計算

『「フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量」のwikipedia(2)』の計算確認です。「宇宙の計量の計算(1)」「宇宙の計量の計算(2)」を参考にします。 計量:       計量要素の偏微分は         クリストッフェル記号   よって、α=t の場合 …
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「フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量」のwikipedia(2)

つづきを読みます。 1.4 曲率 1.4.1 デカルト座標 デカルト座標を使用した平らな(k = 0)FLRW空間おいて、ゼロでないリッチテンソルの成分は   で、スカラー曲率は   1.4.2 超球座標 球面座標を使用するより一般的なFLRW空間では、リッチテンソルの残存成分は  …
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ローレンツ逆変換

別に難しい話ではなく、以前にも同様な内容で記事にしました。具体的にどういうことかというと、普通ローレンツ変換式は と を と とで表しますが、逆に と とで と を表すことを考えます。結論をいうと、 を にすれば良くて、相対論の本には、そういう説明がされることが多いのですが、納得しないかたもいらっしゃるようです。 …
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「フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量」のwikipedia(1)

掲題の日本語版は内容が薄いので英語版を見てみます。 1.一般計量 FLRW 計量は、空間の均一性と等方性の仮定から始まります。 また、計量の空間要素は時間に依存する可能性があると想定しています。これらの条件を満たす一般的な計量は   です。 は、曲率が均一な3次元空間、つまり楕円空間、ユークリッド空間、または双曲…
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クリストッフェル記号のおさらい(1)

「時空の力学」の内容に沿ってクリストッフェル記号についてかんがえます。 局所慣性系:   この局所慣性系での運動方程式は   固有時は   一般的な座標と局所慣性系の関係:   運動方程式を一般的な座標で書くと     項の順を入れ替えてまとめると、   を両辺に掛けると、左辺は       とな…
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超新星 Ia と真空エネルギー密度

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはSupernovae Ia and Vacuum Energy Density を読みます。 宇宙の年齢   ここで、   さらに、   と定義すると、     ここで、   最…
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宇宙論的定数(2)

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはTHE COSMOLOGICAL CONSTANT を読みます。 圧力の重力効果   真空エネルギーと宇宙定数:     と を仮定すると、     非相対論的物質のみを含む 開いている(Ω<1…
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黒体放射と宇宙の初期の歴史(3)

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはBLACK-BODY RADIATION AND THE EARLY HISTORY OF THE UNIVERSE(3) を読みます。 平な輻射が支配する宇宙の動力学:   よって、   したがって、 になるように時計を…
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黒体放射と宇宙の初期の歴史(2)

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはBLACK-BODY RADIATION AND THE EARLY HISTORY OF THE UNIVERSE(2) を読みます。 相対論的エネルギー   1 kg /時の変換は、世界の発電量の1.5倍を供給します(2011年…
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「黒体放射と宇宙の初期の歴史(1)」の数式の検討(その3)

前記事の結論を再掲すると、   でした。 動径変数 に到達するのに必要な固有時間 は積分すればよいので   となりました。ここで天下りですが、 という変数変換を考えます。そうすると、     であり、   つまり、   とすると、                 …
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「黒体放射と宇宙の初期の歴史(1)」の数式の検討(その1)

シュヴァルツシルト計量と測地線方程式から、ニュートンの万有引力に近い式を導出することを検証してみましょう。 放射状測地線   において、左辺を考えると、      なので、測地線方程式は   もう少しまとめると   さらに、     から     よって、 …
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黒体放射と宇宙の初期の歴史(1)

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはBLACK-BODY RADIATION AND THE EARLY HISTORY OF THE UNIVERSE(1) を読みます。 時空の測地線方程式   ★ 添え字 などを使用します。これらは 0 から 3 まで合計され、 …
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完全流体のエネルギー・運動量テンソルを考える(1)

アインシュタイン方程式の右辺にくるエネルギー・運動量テンソルのことはあまり詳しく考えたことがないので、ちょっと勉強です。 何が分かってないかというと、完全流体だと   という式が成立するということです。「一般相対論入門」によると、4章末問題をやると分かるそうなので、その方向に沿ってやってみたいと思います。丸写しではまず…
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速度項の影響をみる

【高さ450m展望台 時間速く進む】(2) で計算式の右辺第2項を無視したのですが、これの影響を考えてみたいと思います。 自転する地球上の高さによる時間の進み具合を考えているのですが、本来ならばカー解で議論しなければいけないのかも知れません。私の相対論理解程度と計算能力からシュバルツシルド解で計算しています。そういう部分もあって誤…
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通信総合研究所での実験結果を計算する

「時間はどこから来て、なぜ流れるか?」の「第1章 時間はどこにあるのか」の冒頭部分で通信総合研究所(現在の情報通信研究機構)で行われた啓蒙的実験について触れられています。実験の詳細については、この本をお読みになっていただきたいです。この記事ではこの実験結果が一般相対論に合致しているだろうということを確かめるために計算してみました。 …
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測地線方程式が見慣れたものとちょっと違うなぁ

測地線方程式というと、クリストッフェル記号が入っているものが紹介されてますが、次式とクリストッフェル記号が入っているものが同じなのか?検討します。   この式の左辺を変形していきます。            右辺も考慮して変形すると、   なので、   となり、クリストッフェル記…
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「測地線方程式」のパラメータを線素にとる

求めた測地線方程式の形が複雑なのでパラメータを線素にとることを考えます。 まず、前に求めた測地線方程式を再掲します。   ここで、   なので、   であり、   から   つまり、   時間次元を含めて   となり、   という関係から   が言…
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「測地線方程式」の数式の検討

前記事の後半の計算をもう少し検討してみたいと思います。           ですが、          から、      第2項積分は         から、      となり、被積分関数をゼロとおくと、最後の式が導出できます・  
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測地線方程式

MITのmooc の"The Early Universe"のスライド資料、具体的にはTHE GEODESIC EQUATION を読みます。 ロバートソン=ウォーカー計量に時間を追加する   意味: の場合、これは、2つの事象が同時に発生する局所自由落下する観測者によって測定された空間距離の2乗である。 の場合、…
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