テーマ:おさらい相対論

【高さ450m展望台 時間速く進む】(2)

さて、ここでは、 「高さ450メートルの東京スカイツリー展望台の時間は地上よりも1日に10億分の4秒速く進んでいる」というのが計算で求まるのか?ということにトライしてみましょう。 前記事の結果を再掲すると   なんですが、速度 v に関しては地上と高さ450メートルの東京スカイツリー展望台の自転の角速度は同じなんですが…
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【高さ450m展望台 時間速く進む】(1)

「時間速く進むスカイツリー展望台 10億分の4秒、相対性理論実証」というニュースが飛び込んできて、コロナ騒ぎが無かったら、結構話題になっただろうと思います。 ブログ主は相対論関連の話題が好きなので、ここで取り上げたいと思います。 どういうことかというと、リンクをはった記事から引用すると、  「高さ450メートルの東京スカイ…
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朝カル立川教室「ダークマター・ダークエネルギーを深掘りする」受講記録

掲題の講座を受講してきましたので、自身の記録として記事にしておきます。 講座名 : ダークマター・ダークエネルギーを深掘りする 講座案内 : ダークマター、ダークエネルギーというキーワードは、その語感からか、多くの人々の口に上ります。ただし、それらの概念がなぜ必要なのか、どういう役割を果たすものなのかについて、真に関心を…
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宇宙論のおさらい(3)

前記事の(5)式を再掲しましょう。   未来の宇宙膨張のことを考えると、   これにいろいろなパラメータを入れて解くと、 宇宙の未来について(1)  宇宙の未来について(2) 宇宙の未来について(3) 宇宙の未来について(4) ということになります。グラフを描くことを考えたのが次の記事です。…
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宇宙論のおさらい(2)

ここで、ハッブルの法則を考えます。 天体が我々から遠ざかる速さ(後退速度)を 、我々からその天体までの距離を とすると、   で、 はハッブル定数といいます。定数といってますが、時間で変化して   とも考えられます。現在つまり でのみ定数と見えているのかも知れません。とりあえず、この法則が成立すると…
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宇宙論のおさらい(1)

朝カル立川教室で「ダークマター・ダークエネルギーを深掘りする」の受講を計画しています。 その前に、ここでやった宇宙論をまた一通りおさらいしておきたいと思います。 まず、宇宙原理「宇宙のあらゆる点は特殊な位置にない」砕いていうと「宇宙の一様等方性」から宇宙モデルを考えてロバートソン=ウォーカー計量を求めます。 これを、「一般相対…
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キリング方程式をもう一度おさらい(2)

この記事は「キリング方程式についてちょと勉強(2)」とほとんど同じなるかも知れませんが、虚心坦懐に新たな気持ちで書いてみます。教科書は「一般相対論入門」です。 前記事の結論を添え字を整理して書き換えると     となります。さて共変微分は   なので、最初の式に適用するために全体に計量テンソルをかけると …
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キリング方程式をもう一度おさらい(1)

標題の「キリング方程式」については、「キリング方程式についてちょと勉強(1)」「キリング方程式についてちょと勉強(2)」という記事を書いていますが、忘れてしまったのでまたまたおさらいです。教科書は「一般相対論入門」です。 [前記事からの引用]--------------------------------------- …
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「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」の再掲

さらに「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」も再掲したいと思います。 基底ベクトルの具体的な形を考えてみました。 まず、図を見て下さい。 と の成す角度を とし、 を直交座標の の方向にとることにします。さらに という条件から、直交座標で表すと、   と図から、仮の正の実数を として、…
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「共変成分でベクトルを表わす」の再掲

「共変成分でベクトルを表わす」も再掲したいと思います。 ベクトルAを共変成分の和で表わすとどうなるでしょう? 反変成分の場合と同じように考えましょう。つまり、   となるでしょう。 ただ、反変成分の場合と異なるのは の長さが ではなくなります。 [注]---------------------…
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「ベクトルの反変成分のイメージ」と「ベクトルの共変成分のイメージ」の再掲

「ベクトルの反変成分のイメージ」と「ベクトルの共変成分のイメージ」は14年前の記事なんですが、ときどき関連記事にコメントをいただくので、書き直しておきます。 2つの斜交軸の単位ベクトルを  とすると、任意のベクトル は   と表されます。 図を見ればお分かりのとおり、ベクトルの足し算(平行四辺形)でとても素…
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宇宙は丸い?

掲題のニュースが流れてきたので、原論文に近い説明がないか?ググって、"A Cosmological Revolution: Is the Universe Really Flat?"を訳してみました。 今回が「Google翻訳」を使ってみました。これ教師ありデータで学習させているようで、いってみればAI翻訳ですね。かなり意味が通るので…
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「ドップラー効果か?宇宙論的赤方偏移か?」での補足

1年以上前の記事「ドップラー効果か?宇宙論的赤方偏移か?」に保留にしていた事項があったので、ここに書いておきます。まあ、特殊相対論を独学でやっていたので、4元運動量とか4元速度とかを良く理解していなかったのが原因です。まあちょっと苦手でピンと来ないのですよ。 何かというと、   という式の証明で、4元速度と4元運動量の…
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潮汐力とリーマンテンソル

潮汐力を測地線の方程式の観点からみることを考えます。 まず、「時空の力学」の記述を引用します。 ------------------------------------------------------------------- 一方の質点の座標を 、他方のそれを として、それぞれに対して測地線の方程式を書いて辺々差し引…
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「島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を再掲(1)

「島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を書きなおしてみたいと思います。 ネットをググっていたら掲題の(望月准教授の研究室のページからいただいた)レポート問題に当りました。 物理的意味は別にして、これを解くには微分方程式の初歩の知識(変数分離)があれば十分なので、閑話休題というところで、やってみたいと思います。 …
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回転座標系について考える(2)

まず前記事の結果を再掲しましょう。   、   、     、   、  ここから、 という形にして、測地線方程式までもっていきたいのですが、 を求めていませんでした。    ここで、 という条件から   とすれば、近似的に   、   、     、   、   となるため、遅い粒子…
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回転座標系について考える(1)

こういう回転座標系というのはいろいろなパラドックスが生じてちょっと苦手です。 ここは平川浩正先生の「相対論」(なぜか第1版)にあった練習問題を考えることにします。 [問題]----------------------------------------------- 回転する座標系で質点にはたらく遠心力と Coriolis の…
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重力による時計の遅れをニュートン力学と特殊相対論で説明する

「時空の力学」を参考にして、書いてみました。 落下するエレベータ内の時計(固有時の刻み)を考えることで、「重力による時計の遅れ」を考察します。 モデルは次の図に示します。 最初 P に停止していたエレベータが、ある時点で自由落下を始めて P に達した状態で、その間に高さにして だけ落下したとします。 そのときの…
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「弱い重力場」のおさらい

これについては以前にもやっていますが、ここのところやっているテーマに少し飽きてきたので、気晴らしに相対論の話題をおさらいします。あんまり読んでなかった平川浩正先生の「相対論」(何故か第一版)を参考にします。 「弱い重力場」は時空の曲がりが少ないのだから、ミンコフスキー時空とかなり近いと思われます。 として、計量は     …
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Schwarzschild 時空のラグランジアン

もうちょっとオーソドックスなことを考えましょう。 Schwarzschild 計量は の自然単位を使うと、   ですが、前記事とは違って、 として とします(本質は前記事とは変わりません)。そうすると   となります。粒子の運動を記述する作用は   なので、   ただし。ドット…
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光子半径の導出を考える

「M87銀河の巨大ブラックホールの撮影に成功」というニュースに関連して「光子半径(Radius of Photon)」と「射影半径(projection radius)」という言葉が飛び交っています。ここでは「光子半径が、シュバルツシルト半径の1.5倍」というのを考えてみます。 「光子半径(Radius of Photon)」とい…
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任意方向ブーストのローレンツ変換式(2)

前記事では考え方を説明しました。ここではもう少し一般的な話になります。 前記事で などの座標を使って説明しましたが、ここでは位置ベクトル を速度ベクトル に平行なベクトル と垂直なベクトル に分解することから始めます。 まずベクトル の大きさは 方向の単位ベクトル との内積なので、   よって、…
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任意方向ブーストのローレンツ変換式(1)_2次元のガリレイ変換から

ちょっと話題に飽きてきたので、「ブースト方向を任意とした場合のローレンツ変換式」をもう少し丁寧に書き直してみたいと思います。 本当は3次元空間で説明しなければいけないのでしょうが、図で表わすことを考えると2次元平面で考えたいと思います(後で3次元に延長すれば良いでしょう)。 さらに、まずガリレイ変換で考えます。これも時間が遅れた…
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特殊相対論のおさらい(6)_テンソル

この段階でも、「計量テンソル ημν」 というのが出てきてますが、ここでやっと 「テンソル」そのものの定義に触れます。 実は、「反変ベクトル = (1,0) テンソル」、「共変ベクトル(1形式) = (0,1) テンソル」、「スカラー = (0,0) テンソル」 で、すべてテンソルの一種と考えることができます。 一般に テンソ…
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特殊相対論のおさらい(5)_1形式

「1形式(1-form)」あるいは共変ベクトルを定義し、導入します。これに対応して前回まで扱ったベクトルは反変ベクトルといいます。 反変ベクトル : 共変ベクトルと反対の変換をするベクトル 慣性系 から慣性系 へのローレンツ変換 :   だとして、逆変換を   と書き   と表現できます…
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特殊相対論のおさらい(4)_ベクトルとスカラー量

ローレンツ変換に対して特定の変換則を持つ量がベクトルとテンソルと呼ばれるもの(まあスピノルもあるが)ですが、ここはベクトルを考えます。 時空図上の世界線を考えましょう。この世界線はパナメータ で表わされるとします。 この世界線上の近傍の2事象 に対して 世界点 が 、世界点 が に対応するとして、座標で考えると …
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特殊相対論のおさらい(3)_4次元ミンコフスキー空間

前回からの続きで、線素と計量テンソルに触れます。 次の二つの事象を考え、   この は近傍であり、座標の差 は微小量であり、次のような組み合わせを考えることが出来ます。   これは 間の線素といい、ローレンツ不変量です。さらに、この線素を次のように書きます。   ここで、 は行列で次のよう…
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特殊相対論のおさらい(2)_4次元ミンコフスキー空間

今回は時空の不変量について考えますが、これも良く知られているもので難しいものではありません。 今ある事象 があるとして、 慣性系 で時間座標 、空間座標 慣性系 で時間座標 、空間座標 とします。   さて、 系で次のような量を考えます。   同様に、 系でも   と…
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特殊相対論のおさらい(1)_4次元ミンコフスキー空間

「東洋思想ノート」をちょっとお休みして、特殊相対論のおさらいをしたいと思います。 とは言っても基本の基本には触れずに、形式的な表現を少しおさらいします。テキストは「解析力学と相対論」です。   として、  方向へのローレンツブーストを考えるとして、   とすると、   で、     とな…
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