テーマ:おさらい相対論

またまた「トーマス歳差」(1)

トーマス歳差については例えば  「トーマス歳差(1)」、 「トーマス歳差(2) 」 など、何度も触れているのですが、何となく身に付きません。。 今回、「解析力学と相対論」という本のP114~116の内容を参考に勉強し直します。 まず、慣性系の設定を図示します。 文章で表わすと、  ・ 慣性系 は…
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またまた「ベルの宇宙船パラドックス」を訳してみよう(1)

wikipediaBell's spaceship paradoxの内容がまた更新されていたので、それも含めてまとめておきましょう。 [ベルの宇宙船パラドックス]-------------------------------------- 「ベルの宇宙船パラドックス」は、特殊相対性理論の思考実験である。最初は1959年にE.…
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地球の Schwarzschild 半径を計算してみる(2)

「言ってはいけない宇宙論 物理学7大タブー」には、前記事と関連してもう一つの記述があります。これも検討してみようと思います。 どういうことか?というと、同じく P48 に 「さらに、地球の周囲の空間が伸びるため、月の軌道から地球の表面に長い長い釣糸をたらすと、月と地球の間の長さに加えて、20センチメートルほど余計に糸が必要に…
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地球の Schwarzschild 半径を計算してみる(1)

Schwarzschild 時空の説明で、地球の Schwarzschild 半径を例として提示している本が良くあるんですが、一応自分でも備忘録として計算しておきます。 データとして、   から       ということで、大体 と啓蒙本に書いてある値と一致しました。 さて、計量を(東海岸方式で)ち…
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「ある微分方程式(1)(2)」を再掲

「ある微分方程式(1)」「ある微分方程式(2)」を再掲したいと思います。 ひとつの微分方程式について考えて見ます。種明かしを初めにしてしまうと、宇宙モデルの方程式を簡略化したものです。では、その微分方程式とは、   で、 と は定数、 は、 のいずれかをとるということです。 ・ の場合、 とすれば、 …
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Dirac 本に誤植があるのだろうか?

Twitter でDirac 本に誤植があるとの情報が知らされました。どこに誤植があるのか?さりげなくリツイートしたら、情報を発信したご本人から、次のような回答がありました。 これについてどの部分か?を調べてみました。 ご本人の承諾を得ていないので、リツイート内容は私が理解した内容に書き換えています。 なので、内容の文責は私に…
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現代宇宙論の歴史(4)

今回は主に「観測的宇宙論」についてまとめます。 4.観測的宇宙論  1964年: ルービン(V. Rubin) ダークマターの認識  1980年代初め: 物質密度は宇宙を平坦にする限界の数%程度とされていた     しかし、ダークマターの存在がクローズアップ → 定量的ダークマターの測定  1990年代頃: ダーク…
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現代宇宙論の歴史(3)

今回は主に「素粒子論的宇宙論」についてまとめます。 3.素粒子論的宇宙論 3.1 ビッグバン宇宙モデルで解決できない5つの問題  第1:宇宙はなぜ火の玉として始まったのか?   観測されている宇宙の元素を説明するために、火の玉で始まる必要がある   しかし、なぜ火の玉としてうまれたのか?  第2:地平線問題 …
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現代宇宙論の歴史(2)

今回は主に「ビッグバン宇宙モデル」についてまとめます。 2.ビッグバン宇宙モデル  1931年:ルメートル、論文「量子力学の視点からの宇宙創生」    宇宙のすべての原子が圧縮されて一つの原始原子(primeval atom)から始まった    →先駆的ではあったが、時期尚早  1946年:ガモフ(G. Gamow…
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現代宇宙論の歴史(1)

「宇宙論Ⅰ」の「第1章 1.1現代宇宙論の歴史」を読みながらノートをとったものを備忘録として残しておきます。 現代宇宙論なので、それ以前の神話的宇宙論やコペルニクス、ガリレオなどの話題は省略しています。 0. 前史  「全宇宙の銀河(星)の光で夜は明るいはず、しかし、夜は暗い」:オルバースのパラドックス   →「宇宙の年…
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フリードマン方程式に宇宙項を加味する

「ロバートソン-ウォーカー計量のアインシュタインテンソル(2)」でフリードマン方程式を求めましたが、宇宙項を入れていませんでした。今回はこれを加えます。 アインシュタイン方程式は   なので   つまり   また、   つまり   となります。
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ロバートソン-ウォーカー計量のアインシュタインテンソル(2)

ではスカラー曲率とアインシュタインテンソルを計算していきます。 まず前記事のまとめを再掲します。       共通項をもう少し変形していくと   なので          つまり     そこでスカラー曲率は      アインシュタインテンソルの定義は   …
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ロバートソン-ウォーカー計量のアインシュタインテンソル(1)

今読んでいる「宇宙論Ⅰ-宇宙のはじまり(シリーズ天文学 第2巻)」(佐藤勝彦・二間瀬敏史[編]/日本評論社)の「第2章 相対論的宇宙論」でフリードマン方程式を導出する際、アインシュタインテンソルを求めるのですが、そこがあっさりと結果だけ書いてあるんでちょっと計算してみようと思います。 「もうひとつの一般相対論入門」では、もう少し一…
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Pound-Rebka-Snider の実験の共鳴吸収の式を考える

「相対論に必要な数学」の初版を持ってるんですが、5ページにある (1.6) 式がちょっと疑問で、多分ミスだと思い訂正して再計算したものを備忘録として残しておきます。 問題の式は      です。この最右辺は   となり、 は直接関係がないのです。 なので正しくは    ではないか?と思います…
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「こう見えても相対論」を読んでみた。

暗黒通信団の小冊子で嵐田源二さんの「こう見えても相対論」を読んでみました。 下に目次を示します。16ページですが内容は充実しています。 基本的に本ブログで「光なしの相対論」と言っている部類の議論が展開されていています。 「1.はじめに」からの一部引用------------------- 相対性原理のみを出発点として理論…
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再びエネルギー・運動量テンソル(3)

今回はエネルギー・運動量の保存則を考えてみます。 保存則は    であり、別の書き方では   あるいは   です。ところで   という立場では、   となります。さらに、   なので、   つまり、 は 方向のエネルギーの流量として考えることが出…
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再びエネルギー・運動量テンソル(2)

前記事で求めたTがエネルギー・運動量テンソルになるわけですが、今回はそのローレンツ変換を考えます。 このテンソルは添え字を交換しても値が変わらないため   方向のローレンツ変換は   なので、    という立場では、   から、                 …
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再びエネルギー・運動量テンソル(1)

標題の「エネルギー・運動量テンソル」はアインシュタイン方程式の右辺に現れてきますが、あんまり良く分かっていないので、おさらいです。 実はここら辺の話題は  「エネルギー運動量テンソル(1)」  「エネルギー運動量テンソル(2)」  「エネルギー運動量テンソル(3)」  「エネルギー運動量テンソル(4)」 で既に書…
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特殊相対論でのちょっとしたおさらい(4)

今回は運動方程式について考えます。 ニュートン力学では   ですが、相対論的には   となるでしょう。 まず   という立場では、   なので、   ですが、   とすれば非相対論的極限でニュートンの方程式を再現できます。 なお、 および により …
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特殊相対論でのちょっとしたおさらい(3)

今回は相対論的エネルギーを考えます。 まず   という立場では、   一方   なので、   となります。ここで   であり、 の極限では  なので、   であり、ニュートン力学の運動エネルギーを とすると、   なので、   となり…
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特殊相対論でのちょっとしたおさらい(2)

今回は4元運動量から考えます。 ニュートン力学で運動量は   で、まず   という立場では、   時間成分は   つまり   とまとめられることになります。 簡単のため、ブースト方向を x1 とすると、座標のローレンツ変換は   となるため、4元運動量も …
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特殊相対論でのちょっとしたおさらい(1)

特殊相対論で何か引っかかるところがありました。「時空と重力」の4元速度からおさらいしようと思います。 非相対論的な速度は   ですが、相対論的には座標時ではなく固有時で微分した   を使うのが適切と思われます。これには   という性質があります、というか、この本「時空と重力」でのミンコフスキー…
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カルツァー=クラインの5次元理論の再掲(2)

γ44 = 1 という条件を保持する(一般)座標変換、つまり γ44' = 1  という変換はどんな条件なのか?検討してみます。 という変換で計量テンソルは次のような変換を受けます。   ここで  を計算しましょう。               よって、 となる条件として、    が考…
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カルツァー=クラインの5次元理論の再掲(1)

「カルツァー=クラインの5次元理論」を書き直したいと思います。これはTOSHIさんのブログの内容を勉強したものなので、正確な内容はTOSHIさんのブログを読んでいただいた方が良いかと思います。 いま、カルツァー=クラインの5次元理論を読んでみると、舌足らずでキリング方程式の導出も7いいかげんでした。 今回は前提として、 …
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キリング方程式についてちょと勉強(2)

前記事でキリング方程式を示しましたが、通常これは共変微分を使って示しているんですが、これをちょっと勉強することにします。 まず、前記事で求めたキリング方程式は   です。ここで共変微分は   ですが、ここから   つまり、   であり   となります。 この関係を最初に…
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キリング方程式についてちょと勉強(1)

標題の「キリング方程式」ですが、苦手意識があってちょっと避けていました。 今回ちょっと勉強してみたいと思います。「一般相対論入門」を参考にしました。 基本的に無限小座標変換の話で、状況は下図のようなものです。 を無限小量として 方向への無限小座標変換:   なんか ± 違うような気がしますが、図にお…
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光速一定の意味(ちょっと雑な話)

この話題は以前に書いた覚えがあるんですが、どこにあるか見つからなくてもう一度書き直してみましょう。 強い重力場では時間が遅れるので光も遅くなるはずです。だとすると「光速度不変の原理」は成り立たないのでは?という疑問を持っている方が居ました。確かに Schwarzschild 半径(事象の地平線)では時間が停止してしまい、光も止まって…
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Dirac「一般相対性理論」の「7.クリストッフェル記号」のおさらい(4)

ここではクリストッフェル記号そのものをもう少し調べてみます。 第2種のクリストッフェル記号の定義を再掲すると   なので、   と下付き添え字を入れ替えても値は変わりません。 さて、 の2次元空間だとリストッフェル記号は何種類あるのでしょうか?   の6通りあることになります。 以前に…
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Dirac「一般相対性理論」の「7.クリストッフェル記号」のおさらい(3)

もう少し続けます。 さて、平行移動しても「任意のベクトルの長さが不変」ということから、平行移動しても「スカラー量 が不変」ということが言えます。 これには、まず というベクトルをつくります。( :実数) 次に、この新しいベクトルの長さを考えてみます。      つまり、  ( の長さの2乗) = …
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