テーマ:もう一つの素粒子論

益川本「対称性の自発的破れとヒッグス機構(4)」を再掲

益川本「対称性の自発的破れとヒッグス機構(4)」を少し端折って再掲します。 ここで、この系に U(1) ゲージ場を結合されることを考えます。 この場合のラグランジアン密度は   で、    : ゲージ場    : ゲージ場の結合定数    : ゲージ場のラグランジアン密度 です。 この系はゲージ不変なので、 と書き…
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益川本「対称性の自発的破れとヒッグス機構(6)」

「対称性の自発的破れとヒッグス機構(2)」 http://teenaka.at.webry.info/200912/article_25.html において、「自発的に対称性が破れたとき、初めにあった対称性はどこにいったのか?」という疑問を提示してましたが、それに対する解答を考えてみましょう。 ・ゲージ場のようなゼロ質量の粒子はど…
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益川本「対称性の自発的破れとヒッグス機構(5)」

対称性の自発的破れとかヒッグス機構というは超伝導とかの物性理論研究に使われていたらしいのですが、1960年代初めの素粒子研究に応用されてきたとのことです。つまり、対称性が自発的に破れれば、ゼロ質量のスカラー粒子(南部 - ゴールドストン粒子)が現れ、系がゲージ場に結合していれば、そのスカラー粒子は消えてゲージ粒子が質量を持つという定理と…
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益川本「対称性の自発的破れとヒッグス機構(4)」

大分サボってしまったので、何をやっているのか分からなくなってきました。 南部 - ゴールドストン粒子 を導入したところでした。 前記事の最後の部分を引用すると =========================================== 第3項:{(2ρ/a)+(ρ2/a2)}∂μθ∂μθ → θ場とρ場の相互作…
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益川本「対称性の自発的破れとヒッグス機構(3)」

実は、前記事の内容は釈然としないのですね。 しかし、もう少し話を進めてみましょう。 ここでは、場の関数を φ(ρ,θ)= eiθ/a(a+ρ) と書き換えるようです。 つまり、φ= eiθ/a(a+ρ) ; φ*= e-iθ/a(a+ρ) です。 よって、 ∂μφ* = ∂φ*/∂xμ = (∂ρ/∂xμ)(∂φ*…
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益川本「対称性の自発的破れとヒッグス機構(2)」

前記事の内容は判り難かったと思います。これは私自身が分かっていないからでしょう。 ここは、私の理解したところを最初に書いておきます。ひょっとしたら誤解があるかもしれません。 (1)対称性を回復するには、x でラベルされた無限個の変数 φ(x) の値がいっせいに θ0 から θ1 に変わらなければならない → しかしこういうことが…
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益川本「対称性の自発的破れとヒッグス機構(1)」

「有限自由度の量子系では基底状態の対称性はハミルトニアンのもつ対称性より小さくなる(対称性の自発的な破れ)ことがない」ということを前記事で学習しました。 ここでは、無限自由度について考えることになります。 この本では、話を簡単にするために複素スカラー場φのみの系を考えるとのことです。 ラグランジアン密度とポテンシャルは次のよう…
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益川本「対称性と有限自由度系の基底状態(5)」

ちょっと、話を整理しましょう。 「対称性と有限自由度系の基底状態(2)」で「任意の試験関数ψを使ってエネルギー期待値を計算してある値が得られたら系の基底エネルギーは常にそれより小さい」ということを説明。(2)の結論から「ゼロ点がある波動関数より常に小さなエネルギーが存在」=「基底状態の波動関数にはゼロ点がない」ということが言えます。こ…
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益川本「対称性と有限自由度系の基底状態(4)」

前記事が知りきれトンボになりました。 ちょっと私自身が分からなくなったのが原因でして、ここはゆっくり進めることにします。 前記事では、領域Bで ψ = -λx  、ψ'= λ[(x2/2δ)+(δ/2)] ということが結論です。 ここで、エネルギー固有値の領域Bでの影響をψ、ψ'での違いを考えましょう。 ハミルト…
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益川本「対称性と有限自由度系の基底状態(3)」

では「②基底状態を表す波動関数 ψ はゼロ点を持たない」の証明に入ります。 証明は、もし「基底状態を表す波動関数 ψ はゼロ点を持つ」としたら、どうなるか?という背理法的論理になりますね。 点Oにゼロ点のある波動関数 ψ をもとに、新たな試験関数 ψ' をつくることを考えましょう。 操作Ⅰ:ゼロ点の右側を上下反転させる(-…
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益川本「対称性と有限自由度系の基底状態(2)」

本来なら相対論ネタと交互にやろうと思っていたのですが、どうも雑談が多くなり、リズムが悪くなってきたので、ここは少し続けましょう。 前記事の最後で「本当のところ波動関数はどうなるのか?」ということを考えていきます。 この疑問に答えるためには次の定理が有用だということです。 前提:系のハミルトニアン H とし、ポテンシャルを …
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益川本「対称性と有限自由度系の基底状態(1)」

今回から「ゲージ理論とは(Ⅱ)」という章に入ります。 主眼は「対称性の自発的破れ」と「ヒッグス機構」ですが、その前に有限自由度系で考えてみましょうということで す。ここでは「対称性の自発的破れ」が起らないということを確認します。 ところで、私の拙い理解では、 有限自由度系 ⇒ 「量子力学」で対応できる 無限自由度系 ⇒…
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益川本「カレント―カレント型理論の意味するところ(3)」

前記事では、弱い相互作用で CP が保存しているとして話を進めていますが、これは実験的に非保存であることが判明したことも書いておきました。今回はここら辺の事情を勉強したいと思います。 クローニン(J.W.Cronin)、フィッチ(V.L.Fitch)たちは高速に加速した陽子を原子核に当てて中性の K 粒子をつくった。 KS …
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益川本「カレント―カレント型理論の意味するところ(2)」

次にカレント―カレント型理論から帰結である CP 対称性について考えることになります。 「カレントはベクトルカレントでも軸性カレントでも、CP 変換のもとでは、カレントを構成しているバーをつける(このブログでは赤字にする)とバーをつけない場の役割が入れ替わる点を除いて、その他は不変である。」   ↓   ↓ 「定数 A と …
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益川本「カレント―カレント型理論の意味するところ(1)」

前記事で「弱い相互作用とカレント―カレント型理論」に触れましたが、その意味について考えることになります。 と言っても、私が分かっているわけではないので、本の記述をまとめる方向で書きます。 弱い相互作用がウィークカレントの積で書ける   ↓   ↓(電磁相互作用のゲージ理論のように)   ↓ カレントに結合するベクトル粒子…
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益川本「弱い相互作用とカレント―カレント型理論(4)」

この「弱い相互作用とカレント―カレント型理論」は最後になります。 前記事の続きですが、「なぜ An はわずかではあるが 1 より小さく、AΛ はさらに小さいのであろうか?」という疑問についてです。 ======================================================= これに対して、ゲル…
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益川本「弱い相互作用とカレント―カレント型理論(3)」

続きですが、ちょっとイメージがつかめなくなってきました。 ここは本の記述をまとめながら進めることにしますが、内容をすべて理解している訳ではないので、あしからず。 1960 年ゲルマンとレビ(M.Levy)はこの理論の枠組みの中で面白いことに気付く。 実験によると An ≒ 0.98  AΛ ≒ 0.2  Bn ≒ 1…
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益川本「弱い相互作用とカレント―カレント型理論(2)」

話題を続けることにしましょう。 前回の最後では、ミュー粒子の崩壊についての相互作用ラグランジアン密度を想定して、実験と良くフィットするという話をしました。しかし、強い相互作用もしている粒子、ハドロンに対してはこれほど単純ではなかったとのことです。 =========================================…
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益川本「弱い相互作用とカレント―カレント型理論(1)」

今回から、新しい節に入ります。弱い相互作用に取り組むことになります。 原子核のベータ崩壊は、ニュートリノを導入後、フェルミが「原子核の中の中性子が電子と反ニュートリノを放出して陽子に転換する反応」であることを明らかにしました。 この相互作用を場の理論の言葉で書けば、 となるとのことです。 (画像が表示され…
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益川本「カレント再論(6)」

これで、「カレント再論」は終わりになりますが、何か分かり難いのです。 カレントについてどう考えるか?になると思うのですが、本の記述を追うだけになるかも知れません。。 ベクトルカレント Jμ 、軸性カレント Jμ5 は CP 変換のもとで不変であることを 『益川本「スピノル場と対称性(4)」』 http://teenaka.at…
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益川本「カレント再論(5)」

前記事で出てきた「カレント群」の微小変換を考えていくことになります。 ここで、質量の起源のとっかかりが出てきます。 まず、 1+iε(l)αλα ∈ Ul(N) に対して ψ'L = (1+iε(l)αλα)ψL = (1+iε(l)αλα){(1-γ5)/2}ψ となります。同様に、 1+iε(r)αλα ∈ Ur…
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益川本「カレント再論(4)」

今回の話題は、私としては分かり辛いものです。何とか話の内容を要約していきますが、上手く表現出来ないかも知れません。 その場合は私が消化不良ということで、大目に見て下さい。 『益川本「スピノルとローレンツ変換(3)」』 http://teenaka.at.webry.info/200906/article_9.html から、ロ…
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益川本「カレント再論(3)」

議論を続けます。ラグランジアン密度からカレントを計算したいと思います。 これには、 Jμ = -∂L /∂(∂με) と、 L = -Σψa(γμ∂μ+ma)ψa+L int(ψ,ψ,…)  (Σは a = 1 から N まで) 使うことになりますね。アインシュタインの縮約を使うと L = -ψa(γμ∂…
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益川本「カレント再論(2)」

「カレント再論」を続けましょう。 ここから、変換群とカレントの関係を見ていくというストーリーなんですが、これはちょっと苦手です。 混乱するかもしれませんね。。 ここでは、「弱い相互作用」の話を念頭においているので、スピノル場のつくるカレントを中心に調べることになります。 まず、N 個のスピノル場 ψa (a = 1,2,…
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益川本「カレント再論(1)」

少しお休みしてましたが、また益川本に戻りましょう。今回から第9章「弱い相互作用理論の展開」に入ります。 益川本に寄り道している原因は「カイラリティー」に引っ掛かったからでした。いよいよ弱い相互作用の話になるので、ここはゆっくりと行きましょう。 まず「カレント再論」からです。 益川本「場の方程式と正準理論」 http://t…
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益川本「実空間での接続と重力理論(2)」

さて、ゲージ理論から一般相対論を見てみようという企画の続きです。 接続の係数 Γ の変換式を見ると、上付き添え字に対して対称であれば、変換後もそれは保たれることがわかるので、ここでは対称な接続に限ることにします。(まあ一般相対論ではそういうことになってますね。) さらに、平行移動でベクトルの長さは変わらないものとしましょう。(これも…
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益川本「接続の幾何とゲージ理論(5)」

ここでは、スカラー場やディラック場の理論をゲージ理論化してみようということになります。 基本的に、微分を共変微分に置き換えるだけで良いのですね。 スカラー場: ラグランジアン密度は L KG= -(∂μφ*∂μφ+m2φ*φ) です。 ゲージ変換ということを考えると、∂μ → ∂μ1-iBμ なので、 L KG= …
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益川本「接続の幾何とゲージ理論(4)」

前記事で求めた曲率テンソルの意味について、もう少し追いかけてみましょう。 この Fμν は微分幾何学の曲率テンソルに対応するものですが、それを実感しようということです。 ここでは Fμν = 0 としてみます。 いま、点 O と点 P を結ぶ経路を考えてましょう。 u(O) = 1 としておきます。 本の内容に沿うと、 …
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益川本「接続の幾何とゲージ理論(3)」

「接続の幾何とゲージ理論」の続きですが、ここでは曲率テンソルに触れます。 段々と一般相対論をやっている気分になりましたね。あくまでゲージ理論なので、そこのところよろしく。。 違う2つの経路Ⅰ(x → x+dx → x+dx+dy)とⅡ(x → x+dy → x+dx+dy)の移動の差を考えることから始めます。 φa(x)…
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益川本「接続の幾何とゲージ理論(2)」

「接続の幾何とゲージ理論」の続きになります。「接続の係数」あるいは「ゲージ場」をもう少し詰めていきましょう。 アイソスピンは任意の点の場 φa を空間の点に依存しない g ∈ SU(2) で変換しました。 ここでは、各点独立に変換させることにします。 いま、N 成分の場を考えているので、変換群は SU(N) とします。 …
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