テーマ:数学

LaTeXの練習(5)

今回は④です。 [④]---------------------------------------------- 5.結論 さて『定数 \(K\) 』とは何でしょうか? 仮に、\(K=0\) としてみると、式(17)(18)(19)は \[ {x}'=x-vt \] \[ {t}'=t …
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LaTeXの練習(4)

今回は③です。 [③]---------------------------------------------- 4.定数を想定 式 (14) では左辺 \(=v\) のみの関数、右辺 \(=u\) のみの関数ということになります。これが等号で結ばれているということは、式(14)の示す値が『定数』であることを…
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LaTeXの練習(3)

今回は②です。 [②]---------------------------------------------- 3.複数の慣性系間の関係 再度、変換式を書いておきましょう。 \(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}'\) 系: \begin{equation} …
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LaTeXの練習(2)

前記事ではpdfのイメージしか示せませんでしたが、MathJax を適用すると少しの手直しで内容が表示できるようです。 ブログにするとちょっと長いので、数回に分けてUPします まず①です。 [①]---------------------------------------------- ロ-レンツ変換を導出する…
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MathJax 再度試してみる

一時使用を止めているMathJax をまた試してみたいと思います。 具体的には、MathJaxの使い方に従って、いくつかの式をコピペして表示させました。 -------------------------------------------------------------- 二次方程式 \(ax^{2}+bx+c=0\) …
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LaTeXの練習(1)

いつもブログにおける数式は、この Online LaTex Equation Editor で作成していますが、私が卒業研究で論文を書いたときは手書きだったので、正式に LaTeX なんかを勉強したことはありません。そこで今年7月にブルーバックスから「LaTeX 超入門 ゼロからはじめる理系の文書作成術」出ているので、ちょっと目を通して…
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Euclid 空間における接ベクトル(2)

続けます。 上の 関数 の点 における   方向への微係数は   ここから、点 における接ベクトル   と 方向への微分作用素   と同一視する。数式で書くと   特に、 と を同一視する。 これにより   となる 【命題1】----------------------…
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Euclid 空間における接ベクトル(1)

「多様体」という本を読んでいますが、表題の項目を備忘録としてまとめておきます。 点 における の接ベクトル(tangent vector) :   の 点 を始点とする有向線分 点 における の接ベクトル全体 を 点 における の接空間(tangent space) という。 は通常和と実…
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「複素数への応用」の再掲

「複素数への応用」を書き直して再掲します。 複素数というのは  と2つの実数 で決まるものです。 であり、演算子  は   なので、2次元ベクトルと見なすことも可能になり、行列表示も可能ということになります。   とすれば、   であり、        …
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web で見つけた積分問題09_13

--------------------------------------   -------------------------------------- まず気付くのは、   から、   なので、問題の定積分は   と分割した方が良いでしょう。まず第一積分は      …
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レミングの集団自殺とロジスティック差分方程式(写像)

かつてはブル-バックスで出版されていたのですが、現在はちくま学芸文庫になっている「カオスとフラクタル」で、80年代に初めてロジスティック差分方程式を知りました。これと表題にある「レミングの集団自殺」を関係付けて考えた記事です。「レミングの集団自殺」は検索していただけるとお分かりと思いますが、真実ではないようですね。もともとこういう噂があ…
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微分方程式を求める問題

1次遅れ要素の直列なので、制御工学では良くある問題だと思いますが、ラプラス変換を使わないとややこしいです。 ------------------------------ と の関係(微分方程式)を求めよ。  ------------------------------ まず関係式を羅列しましょう。    …
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生態学をちょっと(2)

続きを考えます。前記事の(3)式を再掲しましょう。   ちょっと変形してみると   よって、   から   で積分すると、   で積分定数を整理して   書き直すと   となりました。具体的数値を与えてグラフ化してみましょう。   つまり…
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生態学をちょっと(1)

「社会科学における数学的モデル」という半世紀前の本が出てきたので、その一部を読んでみたいと思います。(実は読んでいないのですが)別の書籍で山口昌哉先生の「数学が分かるということ- 食うものと食われるものの数学」でも取り上げられているものと同じではないか?と想像しています。 ウサギとキツネのモデル   : ウサギの数 、  :…
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「積率母関数と中心極限定理(2)」への質問に対する説明

「積率母関数と中心極限定理(2)」に chrono さんから質問をいただきました。本来なら記事本文に追記すればよいのでしょうが、 7年前の記事を変更するのは結構手間が掛かるので、新しい記事にして書いてみたいと思います。 元々現代統計学小事典の受け売りなので、よく理解していなかったのでしょう。説明がぞんざいだったかも知れません。 …
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web で見つけた積分問題06_07

これも難問らしいです。一応解答を見ずに考えてみます。 -------------------------------------- 定積分   を求めよ --------------------------------------      よって、   ここで、   から   …
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後で使う積分

------------------------   ------------------------      なので、   となり、            よって     
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web で見つけた積分問題04_26

アタックしたけれど、題意に沿ったものではないでしょう。 --------------------------------------   を示せ。 -------------------------------------- 左辺の定積分を求めることはできます。 まず、被積分関数を変形していきます。     …
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後で結果を使うので簡単な積分を解いておこう

別にそんなに難しくはないと思うのですが、後で結果を使うのでここで解いておきましょう。 [問題]---------------------------------------- 次の定積分を求めよ。   -------------------------------------------- とおくと、 で よっ…
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1次不定方程式を解く

「ガロア理論の頂点を踏む」のユ-クリッドの互除法のところで出てくる問題です。ヒューリスティックに求めたほうが簡単かもしれません。 --------------------------------------- 次のそれぞれの式を満たす整数 を1組求めよ。       --------------------------…
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web で見つけた積分問題02_23

一応解答を見ずに考えてみます。 -------------------------------------- 定積分   を求めよ -------------------------------------- セオリー通りであれば、 という変換が有効でしょう。そうすると、   であり、積分範囲は から …
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web で見つけた積分問題02_09

大学入試問題なので、高校数学で解けるらしいのですが、難問のようです。一応解答を見ずに考えてみます。 -------------------------------------- 定積分   を求めよ -------------------------------------- 問題式を眺めて気が付いたのは   …
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ツェラーの公式を使って曜日を求める

Python の勉強の過程で「ツェラーの公式をプログラムする」という記事を書いていますが、数検準1級の過去問題の問題5でやはりツェラーの公式が出てきます。ちょっと式が違うのですが、よく眺めると当然同じものです。もう一度プログラムを考えてみたいと思います。 さて、ツェラーの公式は、曜日を知りたい日付を y 年 m 月 d 日とすると…
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複素行列の問題

---------------------- 複素数を成分とし、 の形で表される行列のうち、 を除いた全体の集合を とします。2つの行列 がともに の要素であるとき、次の問いに答えなさい。  (1) は逆行列 を持ち、 もまた、 の要素であることを示しなさい。 (2) の積 もまた、 の要素であることを示しな…
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簡単な問題を解いた

正月なので、あまり難しいことは考えたくなくて、簡単な数学問題を解きました。 [問題]--------------------------- とするとき を計算せよ --------------------------------- この手の問題はまずは因数分解してみることで、見通しが示せることが多いです。なのでこれを…
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「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」の再掲

さらに「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」も再掲したいと思います。 基底ベクトルの具体的な形を考えてみました。 まず、図を見て下さい。 \(\boldsymbol{e}_{1}\) と \(\boldsymbol{e}_{2}\) の成す角度を \( \varphi\) とし、 \(\boldsymbol…
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「共変成分でベクトルを表わす」の再掲

「共変成分でベクトルを表わす」も再掲したいと思います。 ベクトル \(\boldsymbol{A}\) を共変成分の和で表わすとどうなるでしょう? 反変成分の場合と同じように考えましょう。つまり、   となるでしょう。 ただ、反変成分の場合と異なるのは \( \boldsymbol{e}^{1},\;…
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「ベクトルの反変成分のイメージ」と「ベクトルの共変成分のイメージ」の再掲

「ベクトルの反変成分のイメージ」と「ベクトルの共変成分のイメージ」は14年前の記事なんですが、ときどき関連記事にコメントをいただくので、書き直しておきます。 2つの斜交軸の単位ベクトルを \(\boldsymbol{e}_{1},\; \boldsymbol{e}_{2}\) とすると、任意のベクトル \(\boldsymbol{…
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