テーマ:数学

1次不定方程式を解く

「ガロア理論の頂点を踏む」のユ-クリッドの互除法のところで出てくる問題です。ヒューリスティックに求めたほうが簡単かもしれません。 --------------------------------------- 次のそれぞれの式を満たす整数 を1組求めよ。       --------------------------…
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web で見つけた積分問題02_23

一応解答を見ずに考えてみます。 -------------------------------------- 定積分   を求めよ -------------------------------------- セオリー通りであれば、 という変換が有効でしょう。そうすると、   であり、積分範囲は から …
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web で見つけた積分問題02_09

大学入試問題なので、高校数学で解けるらしいのですが、難問のようです。一応解答を見ずに考えてみます。 -------------------------------------- 定積分   を求めよ -------------------------------------- 問題式を眺めて気が付いたのは   …
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ツェラーの公式を使って曜日を求める

Python の勉強の過程で「ツェラーの公式をプログラムする」という記事を書いていますが、数検準1級の過去問題の問題5でやはりツェラーの公式が出てきます。ちょっと式が違うのですが、よく眺めると当然同じものです。もう一度プログラムを考えてみたいと思います。 さて、ツェラーの公式は、曜日を知りたい日付を y 年 m 月 d 日とすると…
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複素行列の問題

---------------------- 複素数を成分とし、 の形で表される行列のうち、 を除いた全体の集合を とします。2つの行列 がともに の要素であるとき、次の問いに答えなさい。  (1) は逆行列 を持ち、 もまた、 の要素であることを示しなさい。 (2) の積 もまた、 の要素であることを示しな…
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簡単な問題を解いた

正月なので、あまり難しいことは考えたくなくて、簡単な数学問題を解きました。 [問題]--------------------------- とするとき を計算せよ --------------------------------- この手の問題はまずは因数分解してみることで、見通しが示せることが多いです。なのでこれを…
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「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」の再掲

さらに「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」も再掲したいと思います。 基底ベクトルの具体的な形を考えてみました。 まず、図を見て下さい。 と の成す角度を とし、 を直交座標の の方向にとることにします。さらに という条件から、直交座標で表すと、   と図から、仮の正の実数を として、…
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「共変成分でベクトルを表わす」の再掲

「共変成分でベクトルを表わす」も再掲したいと思います。 ベクトルAを共変成分の和で表わすとどうなるでしょう? 反変成分の場合と同じように考えましょう。つまり、   となるでしょう。 ただ、反変成分の場合と異なるのは の長さが ではなくなります。 [注]---------------------…
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「ベクトルの反変成分のイメージ」と「ベクトルの共変成分のイメージ」の再掲

「ベクトルの反変成分のイメージ」と「ベクトルの共変成分のイメージ」は14年前の記事なんですが、ときどき関連記事にコメントをいただくので、書き直しておきます。 2つの斜交軸の単位ベクトルを  とすると、任意のベクトル は   と表されます。 図を見ればお分かりのとおり、ベクトルの足し算(平行四辺形)でとても素…
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twitter にあった数学問題、直観しかないか。。

4次方程式?いや6次方程式なので、根の方程式はないです。だから直観を使うしかないですね。 [問題]--------------------------- 次の方程式を解け   -------------------------------- 左辺:      よって、 とすると、この方程式は   という…
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行列式を展開する問題

力業でやってみましたが、もう少しエレガントな方法があるかもしれません。。 [問題]--------------------------------- 次の n×n の行列式を展開せよ。    -------------------------------------- まず、第1列を、その他の各行から引く  …
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tan のべき乗の積分の漸化式の証明

たまたま見かけた掲題の漸化式ですが、証明が載ってなかったので自分でやってみたいと思います。 [証明すべき式]---------------------------- m を2以上の整数として --------------------------------------- まず、 について確認してみましょう。  …
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久々に積分問題をやってみる

被積分関数の変形が思いつかないのでちょっと苦労しました。 [問題]------------------------------------   ----------------------------------------- 最終的には素直に   という公式を使うと             …
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数検1級の回帰分析問題

数検1級なので単純な線形回帰係数を求める問題ではないのですが、そんなに難しいものでもありません。 [問題]---------------------------------------- 下のデータはある化学反応の実験で、反応開始から 分後にある物質の量 を記録したものである。この表の値を用いて   という近似式にお…
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ちょっと計算が面倒くさい不定積分問題

高校数学のレベルで解けるのですが、ちょっと計算が面倒くさかったですね。 ---------------------------- 次の不定積分を計算せよ   ---------------------------- 被積分関数を で表わすと   これを部分分数の和で表わしたいのですが分母=0の解は実…
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数検1級の連分数を計算する問題

これはよくある問題なのでそんなに難しくありませんね。 [問題]---------------------------------------- 下の無限連分数は収束する。その極限値を求めよ。 -------------------------------------------- この連分数を良く見ると次のような形で…
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数検1級の2重積分を計算する問題

2重積分ですが、積分領域に少し考慮が必要、というか変数変換でヤコビアンを使います。 [問題]---------------------------------------- 平面内の領域 について、次の2重積分を計算せよ。    --------------------------------------------…
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数検1級の平均と分散を求める問題

確率の式が提示されていて、平均と分散を求める問題です。 [問題]---------------------------------------- 以上の整数値をとる確率変数 が下の確率分布に従うとき、 の平均と分散を求めよ。    ( は 以上の整数) ------------------------------…
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無限級数和のおさらいをします

ある問題を解こうと思いますが、次の無限級数和が分かっていると便利なので、おさらいのつもりで考えてみます。 を1より小さな正の実数として、   の3種類の無限級数和です。 はお馴染みの等比級数なので答えは分かっているのですが、初心に帰って考えましょう。   なので、   から   …
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数検1級の行列式の問題

ずっと積分問題ばかりやっていたので、ちょっと行列式の計算をやってみます。 [問題]---------------------------------------- を3以上の整数、 を二項係数 () とします。このとき、次の行列式を計算し、因数分解した形で答えなさい。   -----------------------…
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ツイッターにあった積分問題(10)

この問題もセオリー通りの計算で求めることができます。 ---------------------------   --------------------------- こういう場合は という変数変換を行うのが定石ですね。この場合、   と変換されるため、          となります。W…
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具体的な3次方程式を解く

「簡単な因数分解と3次方程式」で根の公式が得られたので、これを使ってみましょう。 [問題]---------------------------------- 3次方程式   を解け -------------------------------------- これは が解の一つということが直観で分かれば、因数分解…
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ツイッターにあった積分問題(8)

実はちょっと嘘をつきました。ツイッターにあった積分問題はちょっと難しくて、被積分関数をの分子に1を足すとこれは比較的簡単に解けそうなので、今回はそれでお茶を濁すことにしました。 ---------------------------------   --------------------------------- 被積…
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「プリンシピア」再販をよせて_過去記事の再掲(5)

「Newtonの論法」を再掲します。 [定理1]を証明してやっと準備が出来ました。 要は、ホイヘンスの方法に似せて、加速度を求めればよいわけです。 このとき、重要になるのが、「ケプラ-の法則」ですね。 三つありましたので、おさらいしてみましょう。 [第一法則]:惑星の軌道は、太陽の位置をその焦点とする楕円形である。 …
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「プリンシピア」再販をよせて_過去記事の再掲(4)

「ホイヘンスの加速度公式」を再掲します。 質点が点 の位置を左回りに運動しているとします。(速度は で一定です。) もし質点に力が働いてないとしたら、質点は等速直線運動して、時間 ののちには だけ離れた点Qの位置に到達するでしょう。しかし実際には中心に向かう引力が働いて点 の位置に「落下」します。 落下の距離 は、…
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「プリンシピア」再販をよせて_過去記事の再掲(3)

「[定理1]の一般的証明」を再掲します。 前回の記事『点Pが近日点にある場合の[定理1]の証明』を考えているとき、これをちょっと傾けて考えれば一般的証明ができることに気がつきました。 まず、図をご覧下さい。 この場合、       よって、   ということが言えます。 した…
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「プリンシピア」再販をよせて_過去記事の再掲(2)

「点Pが近日点にある場合の[定理1]の証明」を再掲します。 前回の記事「楕円の性質_(その1)証明問題付き」において、「点Pが近日点にある」 という特殊な場合は、比較的簡単に証明できることに気がつきました。 まず、図をご覧下さい。 この場合、  さらに です。 また、次のことはすぐに気が付きます。  …
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「プリンシピア」再販をよせて_過去記事の再掲(1)

6月20日に「プリンシピア 自然哲学の数学的原理 第1編 物体の運動」を入手していたのですが、なかなか読み出せません。 この関係では「数理科学2006年7月号」特集「重力は語る」のなかで阪大の窪田先生が「逆二乗法則の魅力」記事を書いておられます。これに触発された記事「楕円の性質_(その1)証明問題付き」を書いていたので、ここに再掲する…
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