テーマ:数学

数学問題

[問題]============================ 複素平面上で \(y=x+1\;\;(z=x+iy)\) を、\(w=z^{2}\) によって \(w\)ー平面 \(w=u+iv\) に移したとき、その像の曲線の方程式を求めよ。また、それはどのような名で呼ばれる曲線か?   =================…
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前記事の「導出」部分の数式を追ってみる(1)

前記事の内容が分かりにくいので、もう少し考えてみます。 まず、動径方向の力は中心力と遠心力からなるので ここで「運動の恒量」は角運動量 \(L=mr^{2}\omega \) なので、 つまり、 さらに、 を使うと、 なので、運動方程式は で、もう少しまとめると …
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"Bertrand's theorem"の Wikipedia を訳してみる

「とね日記」さんの「三体問題 天才たちを悩ませた400年の未解決問題:浅田秀樹」を拝見して興味を持ち読んでみました。大変面白かったですね。この本については「とね日記」さんの該当記事を読んでいただけると良いと思います。 この本を読んでいて、色々と知らないことがあって、まずバートランドの定理に引っ掛かりました。 よって、"Bertr…
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数学問題

[問題]============================ \(x^{2}+xy+y^{2}-5x-4y+3\) を最小にする \(x,y\) とそのときの最小値を求めよ。 ================================= とすると、 であり、 なので、 つまり、\…
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数学問題

[問題]============================ \(y=\tan x\) の逆関数を \(y=\arctan x\) と表し、\(x>0\) のとき、その値をラジアン単位で \(0\) と \(\pi/2\) の間にとる。このとき を満たす正の整数 \((m.n)\) の組をすべて求めよ。  =…
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数学問題

[問題]============================ 次の行列式の値を計算せよ。 ================================= これは対称行列の行列式なんですが、こういう場合の特別な解き方があるんでしょうか? 私は知らないので、オーソドックスな方法で計算しましょう。 まず2行目から…
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数学問題

[問題]============================ を展開したときの定数項を求めよ。 ================================= よって、一般項は なります。定数項では \(6-k=0\;\to\;k=0\) つまり \(k=6\) なので、定数項は
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積分問題 21-01-24

---------------------------- 定積分 (1) \(J_{1},J_{3}\) を求めよ。 (2) 漸化式 が成立することを示せ。 ---------------------------- (1) (2) よって つまり
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この積分はどうなるのか?

ところで、 という形の積分が出てきましたが、これはどうなるのか?よく考えても分かりません。 \(t=x+1\) とすれば \(dt=dx\) なので、定積分なら積分範囲をずらすだけで良いですね。なので本質的には、\(a\)=定数 として という積分ということになります。 \(a=0\) なら と高校…
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また積分問題 2020_12_20

[問題]-------------------------------- 定積分   を計算しなさい。 ------------------------------------- 分母は   と因数分解できるので なので、
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また積分問題 2020_12_13

[問題]-------------------------------- 定積分   を計算しなさい。 ------------------------------------- 被積分関数を部分分数の和に変換したいのですが、分母を整数係数・有理数係数の範囲で因数分解すると   なので、   となり …
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微分方程式を愚直にラプラス変換で解く

簡単な微分方程式を敢えてラプラス変換を使って解くとかえって面倒なことを示します。 ---------------------------   を、初期条件   のもとで解け。 --------------------------- 該当微分方程式の右辺は定数と t のみ関数の和なので、積分を2回実施して、初期条件か…
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LaTeXの練習(5)

今回は④です。 [④]---------------------------------------------- 5.結論 さて『定数 \(K\) 』とは何でしょうか? 仮に、\(K=0\) としてみると、式(17)(18)(19)は \[ {x}'=x-vt \] \[ {t}'=t …
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LaTeXの練習(4)

今回は③です。 [③]---------------------------------------------- 4.定数を想定 式 (14) では左辺 \(=v\) のみの関数、右辺 \(=u\) のみの関数ということになります。これが等号で結ばれているということは、式(14)の示す値が『定数』であることを…
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LaTeXの練習(3)

今回は②です。 [②]---------------------------------------------- 3.複数の慣性系間の関係 再度、変換式を書いておきましょう。 \(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}'\) 系: \begin{equation} …
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LaTeXの練習(2)

前記事ではpdfのイメージしか示せませんでしたが、MathJax を適用すると少しの手直しで内容が表示できるようです。 ブログにするとちょっと長いので、数回に分けてUPします まず①です。 [①]---------------------------------------------- ロ-レンツ変換を導出する…
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MathJax 再度試してみる

一時使用を止めているMathJax をまた試してみたいと思います。 具体的には、MathJaxの使い方に従って、いくつかの式をコピペして表示させました。 -------------------------------------------------------------- 二次方程式 \(ax^{2}+bx+c=0\) …
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LaTeXの練習(1)

いつもブログにおける数式は、この Online LaTex Equation Editor で作成していますが、私が卒業研究で論文を書いたときは手書きだったので、正式に LaTeX なんかを勉強したことはありません。そこで今年7月にブルーバックスから「LaTeX 超入門 ゼロからはじめる理系の文書作成術」出ているので、ちょっと目を通して…
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Euclid 空間における接ベクトル(2)

続けます。 上の 関数 の点 における   方向への微係数は   ここから、点 における接ベクトル   と 方向への微分作用素   と同一視する。数式で書くと   特に、 と を同一視する。 これにより   となる 【命題1】----------------------…
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Euclid 空間における接ベクトル(1)

「多様体」という本を読んでいますが、表題の項目を備忘録としてまとめておきます。 点 における の接ベクトル(tangent vector) :   の 点 を始点とする有向線分 点 における の接ベクトル全体 を 点 における の接空間(tangent space) という。 は通常和と実…
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「複素数への応用」の再掲

「複素数への応用」を書き直して再掲します。 複素数というのは  と2つの実数 で決まるものです。 であり、演算子  は   なので、2次元ベクトルと見なすことも可能になり、行列表示も可能ということになります。   とすれば、   であり、        …
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web で見つけた積分問題09_13

--------------------------------------   -------------------------------------- まず気付くのは、   から、   なので、問題の定積分は   と分割した方が良いでしょう。まず第一積分は      …
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レミングの集団自殺とロジスティック差分方程式(写像)

かつてはブル-バックスで出版されていたのですが、現在はちくま学芸文庫になっている「カオスとフラクタル」で、80年代に初めてロジスティック差分方程式を知りました。これと表題にある「レミングの集団自殺」を関係付けて考えた記事です。「レミングの集団自殺」は検索していただけるとお分かりと思いますが、真実ではないようですね。もともとこういう噂があ…
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微分方程式を求める問題

1次遅れ要素の直列なので、制御工学では良くある問題だと思いますが、ラプラス変換を使わないとややこしいです。 ------------------------------ と の関係(微分方程式)を求めよ。  ------------------------------ まず関係式を羅列しましょう。    …
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生態学をちょっと(2)

続きを考えます。前記事の(3)式を再掲しましょう。   ちょっと変形してみると   よって、   から   で積分すると、   で積分定数を整理して   書き直すと   となりました。具体的数値を与えてグラフ化してみましょう。   つまり…
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生態学をちょっと(1)

「社会科学における数学的モデル」という半世紀前の本が出てきたので、その一部を読んでみたいと思います。(実は読んでいないのですが)別の書籍で山口昌哉先生の「数学が分かるということ- 食うものと食われるものの数学」でも取り上げられているものと同じではないか?と想像しています。 ウサギとキツネのモデル   : ウサギの数 、  :…
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「積率母関数と中心極限定理(2)」への質問に対する説明

「積率母関数と中心極限定理(2)」に chrono さんから質問をいただきました。本来なら記事本文に追記すればよいのでしょうが、 7年前の記事を変更するのは結構手間が掛かるので、新しい記事にして書いてみたいと思います。 元々現代統計学小事典の受け売りなので、よく理解していなかったのでしょう。説明がぞんざいだったかも知れません。 …
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