テーマ:おさらい量子力学

調和振動子の初歩的問題(3)

[問題]----------------------------- の固有ベクトルと固有値をそれぞれ とするとき     が成り立つことを示せ。 ---------------------------------- 前問の結果   から、   で、左辺は   なので、     同様に   で…
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調和振動子の初歩的問題(1)

[問題]----------------------------- 角運動量 の調和振動子のハミルトニアンは   である。交換関係 ()   および定義   を用いて       を示せ。 ----------------------------------               …
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ディラック方程式までのおさらい(5)

自由ディラック粒子において p≠0 の場合について考えます。 2つの2成分スピノル と を用いて   で、     から   なので、     となり、(b) 式から   (a) 式から   ここで、   とすれば   今日はこの辺で。。
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ディラック方程式までのおさらい(4)

自由ディラック粒子について考えます。 自由粒子で、平面波を用いて、   と表せる解を考えます。ここで は4 成分スピノルで、 に依らないものとします。さて   に代入すると   となります。 ここで、パウリ表現   を用いると   は   となり、 の場合は(4×4であることに留意して)   …
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ディラック方程式までのおさらい(3)

ディラック方程式の続きです。 ガンマ行列は最低次のもので 4 × 4 行列であり、ディラック方程式の解は 4 次元縦ベクトルで、スピノルと呼ばれます。 さて、パウリ表現では、   (ここでの I と σi は 2 × 2 行列)   (ここでの I は 4 × 4 行列) また   さらに        …
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ディラック方程式までのおさらい(2)

今回からディラック方程式を勉強します。 多少乱暴な議論ですが、   で、右側の式を量子力学の運動方程式に表したいということだと思います。 とりあえず平方根は解けたとして   2乗すると            ここで、   とすると   とクライン・ゴルドン方程式になります。 さて、もとの式   を…
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ディラック方程式までのおさらい(1)

場の理論を勉強していますが、ここでちょっとお休みしてシュレディンガー方程式からディラック方程式までをおさらいします。 という自然単位系を使います。 シュレディンガー方程式 ニュートン力学   において、   とすると、   これを変形して   複素共役をとって   ここで、 を計算すると …
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ハイゼンベルグ方程式からシュレディンガー方程式

「量子とはなんだろう」に書いてあった掲題の話題を備忘録として書いておきましょう。 まずハイゼンベルグ方程式   で、これを近似的に変形   さらに整理すると、      いっぽう         よって、2次項を無視すれば   ここで、時間発展行列 を次のよう…
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量子力学の流れの方程式

ときどき思い出したように量子力学関係の記事を書きます。 まずシュレディンガー方程式   共役をとると   ハミルトニアンは   ここで、密度を   で定義して時間微分を考えます。               つまり   いっぽう、「流れ」を   …
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Zitterbewegung 関連ページを訳してみる

前々から Zitterbewegung に疑問があったので、"Zitterbewegung,the trembling motion of a moving electron" を訳してみることにしました。[HD, xj] などちょっと違うような気もしますが、原文通りにしました。 Zitterbewegung,移動する電子の震える…
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"Quantum walk"の wikipedia を読む(1)

どうも "Zitterbewegung" を調べていると、それがランダムウォーク のようだという説明がされていることがあります。私としては何となくピンとこないのです。ググってみると"quantum walk"というのも出てきてまた混乱しています。 そこで、関連の wikipedia を抄訳してみたいと思います。誰かさんのようにソースを…
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もう一度「Zitterbewegung」を考える

「確率力学の勉強(1)」 で、 Zitterbewegung はランダムウォークとは違うかも知れないと書いてますが、どうも世の中ではそう思われていないようですね。 もう少し、調べてみたいと思います。いろいろ論文を漁ったのですが、"General Theory of the Zitterbewegung" の "APPENDIX B. …
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ユニタリ行列による3次元座標回転(3)

直交座標の3次元座標回転を SU(2) 行列で表わすことを考える。 記号を次のように簡略しましょう。   さて、3軸の周りの回転を考えます。   つまり、   なので、      よって   であり、   なので、   とすると     …
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ユニタリ行列による3次元座標回転(2)

前記事で、X のユニタリ変換が3次元回転と似ていることを指摘しましたが、もう少し3次元回転を思い出してみます。 まず、回転行列 によって、ベクトル を   へうつします。次に を によって   とうつったとすると、   で、 の変換が表現できます。 ここで、 と対応させると、  …
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パウリ行列でユニタリ行列を表現

前記事で得た SU(2) の元である行列をパウリ行列で求めようと検討します。 前記事の最後で   ということでしたが、この複素数 を4つの実数 で表わすと    となります(添え字の順番がちょっと変なのは後でパウリ行列の順を配慮しています)。よって   であり、         …
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ユニタリ行列をつくる

ここでは2×2のユニタリ行列を作っていきます。 おさらいですが、 を満たすものをユニタリ行列と言いました。 4つの複素数を 行列 を作ります。   がユニタリ行列だとすると、行列式の絶対値は 、つまり なので、複素数ということを考慮すると と表わせることになります。よって、   また、 か…
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δ関数に関する簡単な問題

「基礎から学ぶファインマンダイアグラム 2018年 12 月号 [雑誌]: 数理科学 別冊」という本を入手したので、サボっていた場の量子論の勉強もボチボチやっていきたいと思います。手始めに、この本に載っていた問題をやってみます。模範解答も示されていますが、それは見ていません。 [問題1]----------------------…
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「粒子の分布について_(2)」の再掲

標題の記事を再掲します。 最もありそうな分布を求める中で、その粒子数が粒子の違いによってどうなるかを求めてきましたが、ここでまとめてみると、   という形になることが分かります。ここで、 は  古典的粒子・・・  ボーズ粒子 ・・・  フェルミ粒子・・・ という形にまとめられることになります。 …
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「粒子の分布について_(1)」の再掲

標題の記事を再掲します。 いままで、席の取り方の説明してきたのは、もちろんエネルギー準位を占有する粒子数を求めるためです。 長椅子のようなものと言っていたのは、一つのエネルギー準位を示していて、席は縮退を許す数になる訳です。 そしていままではハッキリは言っていませんが、「相互作用をしない同種の粒子を 個含み、全粒子のエネルギ…
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「席の取り方_分布関数を求める前に[フェルミ粒子の場合]」の再掲

つづきiも再掲します。 同じケースを最後にフェルミ粒子で考えてみます。 まず、席が三つあって、二つの粒子がその席を占める簡単な例を同様に考えます。 一つの席にはの一つ粒子しか占めることが出来ず、この二つの粒子はやはり区別がつきません。 図のように、3とおりがあるはずです。 これは3つの中から2つを選ぶもので単純…
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「席の取り方_分布関数を求める前に[ボーズ粒子の場合]」の再掲

つづきiも再掲します。 同じケースをボーズ粒子で考えてみます。 まず、席が三つあって、二つの粒子がその席を占める簡単な例を同様に考えます。 一つの席には多数(この場合は二つ)の粒子が占めても良いのですが、この二つの粒子は区別がつきません。 図のように、6とおりがあるはずです。 これは「重複組合せ」というものにな…
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「席の取り方_分布関数を求める前に[古典的粒子の場合]」の再掲

これは重要だとおもうので、数式を Latex で書き直しておきます。 ボーズ統計やフェルミ統計の分布関数を求めようと思いますが、そのまえに席の取り方を考えてみます。 まず、席が三つあって、二つの粒子がその席を占める簡単な例を考えます。 一つの席には多数(この場合は二つ)の粒子が占めても良いのですが、この二つの粒子は区別ができる…
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スピン演算子の簡単な問題

スピン角運動量の z 成分演算子に関する簡単な問題を考えます。 この演算子を をとすると、 を持ちます。それぞれの固有値に対応する固有ケット とします。 つまり、   ということになります。 [問1]-------------------------------------   と表わせることを示せ。 …
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簡単なエルミート行列の固有値問題と完備関係

量子力学で「完備方程式」というのがあるのですが、これを簡単なエルミート行列で考えてみたいと思います。 ここで「完備関係式」というのは   ということで、ここで は演算子の固有値で、 は 固有値 に関する固有ベクトルです。 数学的に厳密な議論も良いのですが、ここで、簡単な例で考えます。        …
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射影演算子と複素 n 次元ベクトル

射影演算子というのは私自身にとって分かったようで何となく感覚的に受け付けないので、複素 n 次元ベクトルとのアナロジーを書いておきます。まあ個人的な備忘録で、数学的にはあまり意味のないものかもしれませんので、あしからず。 射影演算子 というのは、 を任意のケットベクトルとすると、   であり、 はスカラ-(内積)なの…
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Dirac「一般相対性理論」の「7.クリストッフェル記号」のおさらい(2)

Dirac「一般相対性理論」を読む_(10)」からのシリーズの書き換えの後半を実施します。 前記事の結果を再掲しましょう。     この図は「時空の力学」から転載しています。ここにあるように平行移動したベクトルの長さが上の式から一定と言えるかどうか?を検討したいと思います。 ベクトルの長さは ですので、こ…
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空洞輻射のおさらい(6)

ここで、空洞輻射の話をまとめて一旦終わりとしましょう。 前記事でレイリージーンズの輻射式の話をしましたが、無限個の調和振動子がすべて を持つとすると、 でない限り、真空中に無限大エネルギーを持つことになります(零点エネルギーは考えていません)。これは明らかに実態にそぐわない理論です。→ 古典論の矛盾を露呈することになり、量子論の…
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空洞輻射のおさらい(5)

いままでは古典論の話をしてきましたが、これを量子論につなげていくことになります。 前記事の結果  電磁場のエネルギー から、電磁場を記述する振動子の変位 は、力学系の一般化座標とみなすことができます(ただし系の自由度が無限大)。ここで一般化運動量は   とすると、ハミルトニアンは     …
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空洞輻射のおさらい(4)

ここでは、まず古典論で調和振動子を考えます。   の解の1つを   とすると   なので、エネルギーは   となり、電磁場のエネルギー   の各成分と対応を考えると   なので、電磁場は調和振動子の無限個の集まりと同じとすることが出来るということになります。 この…
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