T_NAKAの阿房ブログ

[問題]----------------------------- 基底状態 に対し、位置の座標 の期待値は 0 になる。つまり、 を証明せよ。位置座標 の２乗の期待値は 　 となることを示せ。これは、 　 であることに注意せよ。 ---------------------------------- 　 …

[問題]----------------------------- 最低エネルギー状態（基底状態）を で決めたとき 　 を定義する。ただし、 は負ではない整数である。 このとき 　 を導いてみよ。 ---------------------------------- 　 　 　　 この証明はちょっとオカシイ…

[問題]----------------------------- の固有ベクトルと固有値をそれぞれ とするとき 　 　 が成り立つことを示せ。 ---------------------------------- 前問の結果 　 から、 　 で、左辺は 　 なので、 　 　 同様に 　 で…

[問題]----------------------------- 前問の振動子につき 　 であることを確かめよ。 ---------------------------------- 　 　 から 　 　　 　 　 　　 　　

[問題]----------------------------- 角運動量 の調和振動子のハミルトニアンは 　 である。交換関係 () 　 および定義 　 を用いて 　 　 　 を示せ。 ---------------------------------- 　 　　 　　 　 　　 　…

自由ディラック粒子において p≠0 の場合について考えます。 ２つの２成分スピノル と を用いて 　 で、 　 　 から 　 なので、 　 　 となり、(b) 式から 　 (a) 式から 　 ここで、 　 とすれば 　 今日はこの辺で。。

自由ディラック粒子について考えます。 自由粒子で、平面波を用いて、 　 と表せる解を考えます。ここで は4 成分スピノルで、 に依らないものとします。さて 　 に代入すると 　 となります。 ここで、パウリ表現 　 を用いると 　 は 　 となり、 の場合は（４×４であることに留意して） 　 …

ディラック方程式の続きです。 ガンマ行列は最低次のもので 4 × 4 行列であり、ディラック方程式の解は 4 次元縦ベクトルで、スピノルと呼ばれます。 さて、パウリ表現では、 　 （ここでの Ｉ と σi は 2 × 2 行列） 　 （ここでの Ｉ は 4 × 4 行列） また 　 さらに 　 　　 　 …

今回からディラック方程式を勉強します。 多少乱暴な議論ですが、 　 で、右側の式を量子力学の運動方程式に表したいということだと思います。 とりあえず平方根は解けたとして 　 ２乗すると 　 　　 　　 　　 ここで、 　 とすると 　 とクライン・ゴルドン方程式になります。 さて、もとの式 　 を…

場の理論を勉強していますが、ここでちょっとお休みしてシュレディンガー方程式からディラック方程式までをおさらいします。 という自然単位系を使います。 シュレディンガー方程式 ニュートン力学 　 において、 　 とすると、 　 これを変形して 　 複素共役をとって 　 ここで、 を計算すると …

「量子とはなんだろう」に書いてあった掲題の話題を備忘録として書いておきましょう。 まずハイゼンベルグ方程式 　 で、これを近似的に変形 　 さらに整理すると、 　 　　 いっぽう 　 　　 　　 よって、２次項を無視すれば 　 ここで、時間発展行列 を次のよう…

ときどき思い出したように量子力学関係の記事を書きます。 まずシュレディンガー方程式 　 共役をとると 　 ハミルトニアンは 　 ここで、密度を 　 で定義して時間微分を考えます。 　 　　 　　 　　 　　 つまり 　 いっぽう、「流れ」を 　 …

前々から Zitterbewegung に疑問があったので、"Zitterbewegung,the trembling motion of a moving electron" を訳してみることにしました。[HD, xj]　などちょっと違うような気もしますが、原文通りにしました。 Zitterbewegung,移動する電子の震える…

どうも "Zitterbewegung" を調べていると、それがランダムウォーク のようだという説明がされていることがあります。私としては何となくピンとこないのです。ググってみると"quantum walk"というのも出てきてまた混乱しています。 そこで、関連の wikipedia を抄訳してみたいと思います。誰かさんのようにソースを…

「確率力学の勉強（１）」 で、　Zitterbewegung はランダムウォークとは違うかも知れないと書いてますが、どうも世の中ではそう思われていないようですね。 もう少し、調べてみたいと思います。いろいろ論文を漁ったのですが、"General Theory of the Zitterbewegung" の "APPENDIX B. …

直交座標の３次元座標回転を SU(2) 行列で表わすことを考える。 記号を次のように簡略しましょう。 　 さて、３軸の周りの回転を考えます。 　 つまり、 　 なので、 　 　　 よって 　 であり、 　 なので、 　 とすると 　 　　…

前記事で、X のユニタリ変換が３次元回転と似ていることを指摘しましたが、もう少し３次元回転を思い出してみます。 まず、回転行列 によって、ベクトル を 　 へうつします。次に を によって 　 とうつったとすると、 　 で、 の変換が表現できます。 ここで、 と対応させると、 　…

前記事で得た ＳＵ(2) の元である行列をパウリ行列で求めようと検討します。 前記事の最後で 　 ということでしたが、この複素数 を４つの実数 で表わすと　 　 となります（添え字の順番がちょっと変なのは後でパウリ行列の順を配慮しています）。よって 　 であり、 　 　　 　　 …

ここでは２×２のユニタリ行列を作っていきます。 おさらいですが、 を満たすものをユニタリ行列と言いました。 ４つの複素数を 行列 を作ります。 　 がユニタリ行列だとすると、行列式の絶対値は 、つまり なので、複素数ということを考慮すると と表わせることになります。よって、 　 また、 か…

「基礎から学ぶファインマンダイアグラム 2018年 12 月号 [雑誌]: 数理科学 別冊」という本を入手したので、サボっていた場の量子論の勉強もボチボチやっていきたいと思います。手始めに、この本に載っていた問題をやってみます。模範解答も示されていますが、それは見ていません。 [問題１]----------------------…

標題の記事を再掲します。 最もありそうな分布を求める中で、その粒子数が粒子の違いによってどうなるかを求めてきましたが、ここでまとめてみると、 　 という形になることが分かります。ここで、 は 　古典的粒子・・・ 　ボーズ粒子 ・・・ 　フェルミ粒子・・・ という形にまとめられることになります。 …

標題の記事を再掲します。 いままで、席の取り方の説明してきたのは、もちろんエネルギー準位を占有する粒子数を求めるためです。 長椅子のようなものと言っていたのは、一つのエネルギー準位を示していて、席は縮退を許す数になる訳です。 そしていままではハッキリは言っていませんが、「相互作用をしない同種の粒子を 個含み、全粒子のエネルギ…

つづきiも再掲します。 同じケースを最後にフェルミ粒子で考えてみます。 まず、席が三つあって、二つの粒子がその席を占める簡単な例を同様に考えます。 一つの席にはの一つ粒子しか占めることが出来ず、この二つの粒子はやはり区別がつきません。 図のように、３とおりがあるはずです。 これは３つの中から２つを選ぶもので単純…

つづきiも再掲します。 同じケースをボーズ粒子で考えてみます。 まず、席が三つあって、二つの粒子がその席を占める簡単な例を同様に考えます。 一つの席には多数（この場合は二つ）の粒子が占めても良いのですが、この二つの粒子は区別がつきません。 図のように、６とおりがあるはずです。 これは「重複組合せ」というものにな…

これは重要だとおもうので、数式を Latex で書き直しておきます。 ボーズ統計やフェルミ統計の分布関数を求めようと思いますが、そのまえに席の取り方を考えてみます。 まず、席が三つあって、二つの粒子がその席を占める簡単な例を考えます。 一つの席には多数（この場合は二つ）の粒子が占めても良いのですが、この二つの粒子は区別ができる…

スピン角運動量の z 成分演算子に関する簡単な問題を考えます。 この演算子を をとすると、 を持ちます。それぞれの固有値に対応する固有ケット とします。 つまり、 　 ということになります。 [問１]------------------------------------- 　 と表わせることを示せ。 …

量子力学で「完備方程式」というのがあるのですが、これを簡単なエルミート行列で考えてみたいと思います。 ここで「完備関係式」というのは 　 ということで、ここで は演算子の固有値で、 は 固有値 に関する固有ベクトルです。 数学的に厳密な議論も良いのですが、ここで、簡単な例で考えます。 　 　 　　 …

射影演算子というのは私自身にとって分かったようで何となく感覚的に受け付けないので、複素 n 次元ベクトルとのアナロジーを書いておきます。まあ個人的な備忘録で、数学的にはあまり意味のないものかもしれませんので、あしからず。 射影演算子 というのは、 を任意のケットベクトルとすると、 　 であり、　はスカラ－(内積)なの…

Dirac「一般相対性理論」を読む＿（１０）」からのシリーズの書き換えの後半を実施します。 前記事の結果を再掲しましょう。 　 　 この図は「時空の力学」から転載しています。ここにあるように平行移動したベクトルの長さが上の式から一定と言えるかどうか？を検討したいと思います。 ベクトルの長さは ですので、こ…

ここで、空洞輻射の話をまとめて一旦終わりとしましょう。 前記事でレイリージーンズの輻射式の話をしましたが、無限個の調和振動子がすべて を持つとすると、 でない限り、真空中に無限大エネルギーを持つことになります（零点エネルギーは考えていません）。これは明らかに実態にそぐわない理論です。→　古典論の矛盾を露呈することになり、量子論の…