テーマ:おさらい量子力学

Zitterbewegung 関連ページを訳してみる

前々から Zitterbewegung に疑問があったので、"Zitterbewegung,the trembling motion of a moving electron" を訳してみることにしました。[HD, xj] などちょっと違うような気もしますが、原文通りにしました。 Zitterbewegung,移動する電子の震える…
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"Quantum walk"の wikipedia を読む(1)

どうも "Zitterbewegung" を調べていると、それがランダムウォーク のようだという説明がされていることがあります。私としては何となくピンとこないのです。ググってみると"quantum walk"というのも出てきてまた混乱しています。 そこで、関連の wikipedia を抄訳してみたいと思います。誰かさんのようにソースを…
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もう一度「Zitterbewegung」を考える

「確率力学の勉強(1)」 で、 Zitterbewegung はランダムウォークとは違うかも知れないと書いてますが、どうも世の中ではそう思われていないようですね。 もう少し、調べてみたいと思います。いろいろ論文を漁ったのですが、"General Theory of the Zitterbewegung" の "APPENDIX B. …
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ユニタリ行列による3次元座標回転(3)

直交座標の3次元座標回転を SU(2) 行列で表わすことを考える。 記号を次のように簡略しましょう。   さて、3軸の周りの回転を考えます。   つまり、   なので、      よって   であり、   なので、   とすると     …
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ユニタリ行列による3次元座標回転(2)

前記事で、X のユニタリ変換が3次元回転と似ていることを指摘しましたが、もう少し3次元回転を思い出してみます。 まず、回転行列 によって、ベクトル を   へうつします。次に を によって   とうつったとすると、   で、 の変換が表現できます。 ここで、 と対応させると、  …
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パウリ行列でユニタリ行列を表現

前記事で得た SU(2) の元である行列をパウリ行列で求めようと検討します。 前記事の最後で   ということでしたが、この複素数 を4つの実数 で表わすと    となります(添え字の順番がちょっと変なのは後でパウリ行列の順を配慮しています)。よって   であり、         …
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ユニタリ行列をつくる

ここでは2×2のユニタリ行列を作っていきます。 おさらいですが、 を満たすものをユニタリ行列と言いました。 4つの複素数を 行列 を作ります。   がユニタリ行列だとすると、行列式の絶対値は 、つまり なので、複素数ということを考慮すると と表わせることになります。よって、   また、 か…
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δ関数に関する簡単な問題

「基礎から学ぶファインマンダイアグラム 2018年 12 月号 [雑誌]: 数理科学 別冊」という本を入手したので、サボっていた場の量子論の勉強もボチボチやっていきたいと思います。手始めに、この本に載っていた問題をやってみます。模範解答も示されていますが、それは見ていません。 [問題1]----------------------…
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「粒子の分布について_(2)」の再掲

標題の記事を再掲します。 最もありそうな分布を求める中で、その粒子数が粒子の違いによってどうなるかを求めてきましたが、ここでまとめてみると、   という形になることが分かります。ここで、 は  古典的粒子・・・  ボーズ粒子 ・・・  フェルミ粒子・・・ という形にまとめられることになります。 …
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「粒子の分布について_(1)」の再掲

標題の記事を再掲します。 いままで、席の取り方の説明してきたのは、もちろんエネルギー準位を占有する粒子数を求めるためです。 長椅子のようなものと言っていたのは、一つのエネルギー準位を示していて、席は縮退を許す数になる訳です。 そしていままではハッキリは言っていませんが、「相互作用をしない同種の粒子を 個含み、全粒子のエネルギ…
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「席の取り方_分布関数を求める前に[フェルミ粒子の場合]」の再掲

つづきiも再掲します。 同じケースを最後にフェルミ粒子で考えてみます。 まず、席が三つあって、二つの粒子がその席を占める簡単な例を同様に考えます。 一つの席にはの一つ粒子しか占めることが出来ず、この二つの粒子はやはり区別がつきません。 図のように、3とおりがあるはずです。 これは3つの中から2つを選ぶもので単純…
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「席の取り方_分布関数を求める前に[ボーズ粒子の場合]」の再掲

つづきiも再掲します。 同じケースをボーズ粒子で考えてみます。 まず、席が三つあって、二つの粒子がその席を占める簡単な例を同様に考えます。 一つの席には多数(この場合は二つ)の粒子が占めても良いのですが、この二つの粒子は区別がつきません。 図のように、6とおりがあるはずです。 これは「重複組合せ」というものにな…
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「席の取り方_分布関数を求める前に[古典的粒子の場合]」の再掲

これは重要だとおもうので、数式を Latex で書き直しておきます。 ボーズ統計やフェルミ統計の分布関数を求めようと思いますが、そのまえに席の取り方を考えてみます。 まず、席が三つあって、二つの粒子がその席を占める簡単な例を考えます。 一つの席には多数(この場合は二つ)の粒子が占めても良いのですが、この二つの粒子は区別ができる…
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スピン演算子の簡単な問題

スピン角運動量の z 成分演算子に関する簡単な問題を考えます。 この演算子を をとすると、 を持ちます。それぞれの固有値に対応する固有ケット とします。 つまり、   ということになります。 [問1]-------------------------------------   と表わせることを示せ。 …
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簡単なエルミート行列の固有値問題と完備関係

量子力学で「完備方程式」というのがあるのですが、これを簡単なエルミート行列で考えてみたいと思います。 ここで「完備関係式」というのは   ということで、ここで は演算子の固有値で、 は 固有値 に関する固有ベクトルです。 数学的に厳密な議論も良いのですが、ここで、簡単な例で考えます。        …
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射影演算子と複素 n 次元ベクトル

射影演算子というのは私自身にとって分かったようで何となく感覚的に受け付けないので、複素 n 次元ベクトルとのアナロジーを書いておきます。まあ個人的な備忘録で、数学的にはあまり意味のないものかもしれませんので、あしからず。 射影演算子 というのは、 を任意のケットベクトルとすると、   であり、 はスカラ-(内積)なの…
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Dirac「一般相対性理論」の「7.クリストッフェル記号」のおさらい(2)

Dirac「一般相対性理論」を読む_(10)」からのシリーズの書き換えの後半を実施します。 前記事の結果を再掲しましょう。     この図は「時空の力学」から転載しています。ここにあるように平行移動したベクトルの長さが上の式から一定と言えるかどうか?を検討したいと思います。 ベクトルの長さは ですので、こ…
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空洞輻射のおさらい(6)

ここで、空洞輻射の話をまとめて一旦終わりとしましょう。 前記事でレイリージーンズの輻射式の話をしましたが、無限個の調和振動子がすべて を持つとすると、 でない限り、真空中に無限大エネルギーを持つことになります(零点エネルギーは考えていません)。これは明らかに実態にそぐわない理論です。→ 古典論の矛盾を露呈することになり、量子論の…
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空洞輻射のおさらい(5)

いままでは古典論の話をしてきましたが、これを量子論につなげていくことになります。 前記事の結果  電磁場のエネルギー から、電磁場を記述する振動子の変位 は、力学系の一般化座標とみなすことができます(ただし系の自由度が無限大)。ここで一般化運動量は   とすると、ハミルトニアンは     …
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空洞輻射のおさらい(4)

ここでは、まず古典論で調和振動子を考えます。   の解の1つを   とすると   なので、エネルギーは   となり、電磁場のエネルギー   の各成分と対応を考えると   なので、電磁場は調和振動子の無限個の集まりと同じとすることが出来るということになります。 この…
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空洞輻射のおさらい(3)

ここは古典論で電磁波のエネルギーをおさらいして、ここに今までの結果を代入していきましょう。 古典論での電磁波のエネルギー:   これを計算するためには、 の計算が必要となります。その前に   から の各々を求めます。さて   なので、     から      また …
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空洞輻射のおさらい(2)

前記事の結論を書いておきましょう。   つまり、 は進行波の重ね合わせであり、各成分波の振幅が で、 の時の位相が ということになります。 これは各成分が1個の調和振動子であり、振幅と初期位相を与えればその後の時間発展が確定します。 ここで、   という量を考えて、これの2乗を について 内で積分…
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空洞輻射のおさらい(1)

こういう標題ですが、まあ「電磁波の量子化=光子」のおさらいの積もりです。 ベクトルポテンシャルで議論していきますが、舞台としては下図のような立方体です。 周期的境界条件を課すと   のようにフーリエ展開できます。     なので、波動方程式   に代入すると、     …
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ミクロ粒子の散乱について(4)

今回は仕上げに問題を解いてみたいと思います。 [問題]-------------------------------- ( は正の定数) としたとき、式    は の極限(クーロン力による散乱)で、 に逆比例することを示せ。  ------------------------------------- …
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ミクロ粒子の散乱について(3)

では考察を続けたいと思います。まず、前記事の結果を書いておきましょう。   ここで、散乱波を観測する位置 は原点からのマクロの距離だけ離れた点であるとし、 が でないのは原点の近傍のミクロの範囲であるとしましょう。 を 方向の単位ベクトルとすると、 なので、   でしょう。ここで a<1 …
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ミクロ粒子の散乱について(2)

ではミクロ粒子の散乱問題について量子論で考えます。 入射粒子線の方向・エネルギ-は制御されているので、それを平面波 で表します。入射粒子の速度は遅く、非相対論的なので から、  であり、 は を で割ったものです。 ポテンシャルによる散乱では、エネルギーは一定に保たれるので   として   の…
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ミクロ粒子の散乱について(1)

散乱問題に入っていきたいのですが、そもそも「散乱断面積」「衝突径数(impact parameter)」とか、良く分かってないのです。まずそんなところから勉強してみます。「Rutherford 散乱断面積」という資料を参考にします。 図1に示すように入射粒子(projectile)Aが、静止している標的粒子(target)…
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空洞輻射のためのちょっとした備忘録

実は空洞輻射の計算するために、前もって確認しておこうと思って書いています。 何かというと     という式を計算して簡略化したいということですね(ただし α>0)。               まとめると   となります。
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量子力学のおさらい_不確定性原理 (2)

ここで簡単な関連問題を考えます。 良く出るガウス波形の例です。 公式   から、   なので、分布関数として   と捉えることが出来て、                から標準偏差は   となります。 さて、波動関数の2乗が粒子の分布関数になるのですから…
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量子力学のおさらい_不確定性原理 (1)

不確定性原理をフーリエ変換の観点から考えます。 簡単のため、1次元に絞ります。   ですが、変数を から に変えることを考えます。   なので、   となりますが、   とすると、   また   から   となります。まとめると変換・逆変換は …
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