テーマ:おさらい量子力学

調和振動子と生成消滅演算子をもう少し考える

シュレディンガー方程式で生成消滅演算子を考えてみます。 ここで、 とすれば から、最初にあげたシュレディンガー方程式の左辺は よってシュレディンガー方程式は から よって、 ここで、 この \(\dagger\) というのは表現が良くないですが、、 …
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(12)

今回は演習問題3にトライします。 [問題3]-------------------------- 前問1,2と同じ記号を用いて、\(\theta\psi _{0}=0\) であることを証明せよ。\(\chi\) が \(p\chi=0\) を満足するベクトルとするとき であることを示せ。 注意:シュレディンガーの…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(9)

今回は「輻射の量子論」に対して調和振動子の応用を考えます。 まず「輻射」と「放射」は同じ意味ですが、これについては「新・演習 量子力学」P107のコラムから引用してみましょう。 -------------------------------- 一昔前、熱放射は熱輻射とよばれた。車輪の中心から輻が出ていて、それが輻射の語源になっ…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(8)

今回は「原子の振動」に対して調和振動子の応用を考えます。 「二原子分子」を考えます。 \(V(r)\) : 距離 \(r\) だけ離れた2個の原子のポテンシャル \(\boldsymbol{q}_{1},\; \boldsymbol{q}_{2}\) : これら2個の座標ベクトル よって、 二原子分子のエネルギーは…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(7)

今回は調和振動子の応用についての問題を解きます。 [問題]------------------------ もし二次元の振動子のエネルギーが の形をしていれば、このエネルギーは を代入することによって、正規の形式に帰着することを示せ。ただし、 \(c_{1}>0\) および \(c_{1}c_{2}…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(6)

今回は調和振動子の応用について勉強しますが、まず準備段階というところです。 今後、具体例として (i)原子の振動 (ii)輻射 について考えることになるのですが、まずその準備です。 これまでの理論を、数個あるいは多数の自由度を持つ振動子に拡張することは容易です。 エネルギーは の形に帰着します。もし と書く…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(5)

今回は「平均値とゆらぎ」について勉強します。 規格化された固有ベクトル \(\psi ^{(j)}\) で、それに対応するエネルギーが \((j+1/2)\hbar\omega\) の固有状態にある振動子を考えます。 から、 \(\psi ^{(j)}\) は0オリジンで \(j\) 番目の要素が1でその他の要素がゼロの…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(4)

今回は問題を解きます。 [問題]---------------------------------- (a) \(c\) を任意の数とするとき、\(\psi _{k}= c^{k}(k!)^{-1/2}e^{-c^{2}}\) を成分とするベクトル \(\psi\) は、\(A\) の固有ベクトルであることを示し、そして、対応す…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(3)

今回は「演繹的な方法」を勉強します。 前記事までは \(A\) を天下り的に与えられましたが、これをもう少し演繹的に求めようということです。 とりあえず (\(c_{1}\) は数)という形にすることを考えます。 普通に考えると2通りあるのですが、ここでは として つまり、 で \(c_…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(2)

今回は問題を解くことにします。 [問題]---------------------------- \(N=A^{\dagger}A\) であるとき、\(N\) の固有値は、\(0,1,2,\cdots\) であることを示し、そして、正の整数値 \(n\) に対して   であることを帰納法によって証明せよ。ただし \([A…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(1)

「ハイゼンベルク形式による量子力学」という本を持っているのですが、その「調和単振動子」の章を勉強してみます。 この本の表現なんですが、演算子にハット(\(\hat{\;}\)) を付けてないので分りづらいのと、複素共役の意味での (*) をエルミート共役の意味でも使っています。気が付いたところでは (\(\dagger\) ) に…
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鉄57におけるメスバウアー効果

"Mossbauer Effect in Iron-57" をちょっと訳してみます。 ------------------------------------- \(^{57}\mathrm{Fe}\) におけるメスバウアー効果 \(^{57}\mathrm{Fe}\) のメスバウアー効果の研究は、\(14.4 \math…
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メスバウアー効果

"Mossbauer Effect" をちょっと訳してみます。 ------------------------------------- メスバウアー効果 メスバウアー効果には、原子核の励起状態からのガンマ線の放出と吸収が含まれる。 励起された原子核がガンマ線を放出すると、ガンマ線の光子には運動量があるため、運動量を保存…
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不確定性原理による粒子寿命を推定

「メスバウアー効果」を調べるために "Particle lifetimes from the uncertainty principle" をちょっと訳してみます。 ------------------------------------- 不確定性原理による粒子の寿命 不確定性原理は、加速器での高エネルギー衝突で生成され…
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調和振動子の初歩的問題(5)

[問題]----------------------------- 基底状態 に対し、位置の座標 の期待値は 0 になる。つまり、 を証明せよ。位置座標 の2乗の期待値は   となることを示せ。これは、   であることに注意せよ。 ----------------------------------   …
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調和振動子の初歩的問題(4)

[問題]----------------------------- 最低エネルギー状態(基底状態)を で決めたとき   を定義する。ただし、 は負ではない整数である。 このとき   を導いてみよ。 ----------------------------------        この証明はちょっとオカシイ…
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調和振動子の初歩的問題(3)

[問題]----------------------------- の固有ベクトルと固有値をそれぞれ とするとき     が成り立つことを示せ。 ---------------------------------- 前問の結果   から、   で、左辺は   なので、     同様に   で…
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調和振動子の初歩的問題(1)

[問題]----------------------------- 角運動量 の調和振動子のハミルトニアンは   である。交換関係 ()   および定義   を用いて       を示せ。 ----------------------------------               …
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ディラック方程式までのおさらい(5)

自由ディラック粒子において p≠0 の場合について考えます。 2つの2成分スピノル と を用いて   で、     から   なので、     となり、(b) 式から   (a) 式から   ここで、   とすれば   今日はこの辺で。。
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ディラック方程式までのおさらい(4)

自由ディラック粒子について考えます。 自由粒子で、平面波を用いて、   と表せる解を考えます。ここで は4 成分スピノルで、 に依らないものとします。さて   に代入すると   となります。 ここで、パウリ表現   を用いると   は   となり、 の場合は(4×4であることに留意して)   …
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ディラック方程式までのおさらい(3)

ディラック方程式の続きです。 ガンマ行列は最低次のもので 4 × 4 行列であり、ディラック方程式の解は 4 次元縦ベクトルで、スピノルと呼ばれます。 さて、パウリ表現では、   (ここでの I と σi は 2 × 2 行列)   (ここでの I は 4 × 4 行列) また   さらに        …
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ディラック方程式までのおさらい(2)

今回からディラック方程式を勉強します。 多少乱暴な議論ですが、   で、右側の式を量子力学の運動方程式に表したいということだと思います。 とりあえず平方根は解けたとして   2乗すると            ここで、   とすると   とクライン・ゴルドン方程式になります。 さて、もとの式   を…
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ディラック方程式までのおさらい(1)

場の理論を勉強していますが、ここでちょっとお休みしてシュレディンガー方程式からディラック方程式までをおさらいします。 という自然単位系を使います。 シュレディンガー方程式 ニュートン力学   において、   とすると、   これを変形して   複素共役をとって   ここで、 を計算すると …
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