場の量子論: T_NAKAの阿房ブログ

テーマ：場の量子論

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「『量子化』について」を再掲

$\begin{align*} \frac{df}{dt}&= \frac{\partial f}{\partial q}\frac{dq}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dt}+\frac{\partial f}{\partial t}\frac{dt}{dt}\\ &= \frac{\partial f}{\partial q}\frac{dq}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dt}+\frac{\partial f}{\partial t} \end{align*}$

『量子化』についてを再掲します。いま \((q,p,t)\) の関数 \(f(q,p,t)\) を考えます。この時間微分はとなるのですが、正準方程式　\(dq/dt=\partial H/\partial p\; ;\; dp/dt=-\partial H/\partial q\) を使うと、となります…

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2021年02月02日

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中性スカラー場の練習問題（６）

$\110dpi a(\boldsymbol{k})|0\rangle= 0$

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- 真空状態（または基底状態）は、で定義される。場の量の真空期待値はとなることを示せ。すなわち、　また、　であることを確かめよ。 ---------------------------- 　　　　　　「中…

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2020年10月21日

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中性スカラー場の練習問題（５）

$H= \int d^{3}{k}'\; \omega ({\boldsymbol{k}}')a^{\dagger }({\boldsymbol{k}}')a({\boldsymbol{k}}')$

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- 相互作用のないハミルトニアンは粒子数演算子と交換することを示せ。したがって相互作用がないときは、粒子数は保存する。 ---------------------------- ハミルトニアンは　なので、　　　　　　　 …

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2020年10月16日

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中性スカラー場の練習問題（４）

$N\equiv \int d^{3}k\; a^{\dagger }(\boldsymbol{k})a(\boldsymbol{k})$

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- 演算子　は　を満たすことを証明せよ。ただし　　　　である。このを粒子数演算子と呼ぶ。 ---------------------------- 　　　　　　　　　　　　　　　　…

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2020年10月12日

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中性スカラー場の練習問題（３）

$:H:\: = \frac{1}{2}\int d^{3}x\: :\left \{ \dot{\phi } ^{2}+(\nabla\phi )^{2}+m^{2}\phi ^{2}\right \}:$

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- ハミルトニアンをノーマル積の形で書くと、　　　を確認せよ。 ---------------------------- 　　　から　　　　　　　　　　　　　　　よって、　　　…

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2020年10月08日

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中性スカラー場の練習問題（２）

$[\phi (\boldsymbol{x},t),\phi ({\boldsymbol{x}}',t)]=0$

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- 前問における場が、交換関係　　を満たすとき、　　　を導け。 ---------------------------- 　　　と表記して　　　　　積分はで変わらないと考えられることと、 …

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2020年10月06日

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中性スカラー場の練習問題（１）

$\phi(x)= \frac{1}{(2\pi )^{3/2}}\int \frac{d^{3}k}{\sqrt{2\omega }}\left \{ a(\boldsymbol{k})e^{-ikx}+ a^{\dagger }(\boldsymbol{k})e^{ikx} \right \}$

少し復習しましょう。これは『「ちょっと予習の備忘録（１）」を再掲』を再考にリンクを張ってあるあもんさんの模範解答でいいのですが、改めてトライしてみたいと思います。 [問題]----------------------- 場の量が　で与えられたとき、逆関係　　を導出せよ。なお、　であり、デル…

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2020年10月02日

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３章ディラック場（15）

$\110dpi \xi$

"3.3 Free-Particle Solutions of the Dirac Equation" 「3.3ディラック方程式の自由粒子解」の3回目を読んでいきたいと思います。実際には、特定のスピノルを使用すると便利な場合があります。ここでの有用な選択は、の固有状態です。たとえば、（第3軸に沿ってスピン上）の場合、…

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2020年08月21日

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３章ディラック場（14）

$\begin{pmatrix} E\\ p^{3} \end{pmatrix}= \left [ 1+\eta \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right ]\begin{pmatrix} m\\ 0 \end{pmatrix}$

"3.3 Free-Particle Solutions of the Dirac Equation" 「3.3ディラック方程式の自由粒子解」の2回目を読んでいきたいと思います。これで、静止系に u（p）の一般的な形ができたので、ブーストにより、他の慣性系での u（p）を取得できます。3方向に沿ってブーストを検討してください…

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2020年08月19日

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３章ディラック場（13）

$\psi (x)= u(p)e^{-ip\cdot x}\; , \; \; \; \; \textup{where}\; p^{2} = m^{2}\; \; \; \; \; \; \; \; (3.45)$

"3.3 Free-Particle Solutions of the Dirac Equation" 「3.3ディラック方程式の自由粒子解」の1回目を読んでいきたいと思います。ディラック方程式の物理を理解するために、平面波の解法について説明します。ディラック場ψはクラインゴルドン方程式に従うため、平面波の線形結合として記述で…

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2020年08月17日

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３章ディラック場（12）

$\psi = \begin{pmatrix} \psi _{L}\\ \psi _{R} \end{pmatrix}\; \; \; \; \; \; \; \; \; (3.36)$

"3.2 The Dirac Equation" の5回目を読んでいきたいと思います。"Weyl Spinors" に入ります。ワイルスピノル生成子（3.26）と（3.27）のブロック対角形から、ローレンツ群のディラック表現が還元可能であることは明らかです。各ブロックを個別に検討し、書き込むことで、2つの2次元表現を…

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2020年08月13日

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３章ディラック場（11）

$\110dpi \psi ^{\dagger }\psi$

"3.2 The Dirac Equation" の4回目を読んでいきたいと思います。ディラック理論のラグランジアンを書き留めるには、ローレンツスカラーから2つのディラックスピノルを乗算する方法を理解する必要があります。明白な推測であるは機能しません。ローレンツのブーストでは、これはになります。ブースト行列がユニタリの…

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2020年08月11日

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３章ディラック場（10）

$\110dpi \psi$

"3.2 The Dirac Equation" の3回目を読んでいきたいと思います。の変換法則ができたので、適切な場の方程式を探す必要があります。1つの可能性は、単純にクライン・ゴルドン方程式です：　これは、スピノル変換行列（3.26）および（3.27）が「内部」空間でのみ機能するため機能します。 …

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2020年08月07日

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３章ディラック場（９）

$\110dpi \gamma ^{\mu }$

"3.2 The Dirac Equation" の2回目を読んでいきたいと思います。次に、回転グループの4次元表現のディラック行列を見つけます。これらの行列は少なくとも4×4でなければならないことがわかります。（たとえば、4つの2×2行列はなく、3つのパウリシグマ行列との反交換になります。）さらに、ディラック代数のすべて…

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2020年08月05日

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３章ディラック場（８）

$\left \{ \gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu } \right \}\equiv \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu } +\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu } = 2g^{\mu \nu }\times \boldsymbol{1}_{n\times n}\; \; \; \; (\textup{Dirac}\; \; \textup{algebra})\; \; \; (3.22)$

"3.2 The Dirac Equation" の1回目を読んでいきたいと思います。ローレンツ群の1つの有限次元表現を見てきたので、論理的な次のステップは、他のすべての表現を見つけるための形式主義を発展させることです。これはそれほど難しいことではありませんが（問題3.1を参照）、スピン 1/2 に対応する表現に主に関心があるた…

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2020年08月03日

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「３章ディラック場（７）」の数式の検討（その２）

${t}'= \frac{t-\frac{vx}{c^{2}}}{\sqrt{1-\left ( \frac{v}{c} \right )^{2}}}\; \to \; c{t}'= \frac{ct-\frac{vx}{c}}{\sqrt{1-\left ( \frac{v}{c} \right )^{2}}}\; \to \; {x}'^{0}= \gamma (x^{0}-\beta x^{1})$

残った（3.19）式から（3.21）が出てくる理屈をたどります。まず、ｘ方向にブーストした場合のローレンツ変換のおさらいです。　　　つまり、　となります。（3.21）とβの符号が逆なんですが、これはブースト方向が正かを採用するか負を採用するかの違いなので、本質的ではないでしょう。さて、前記…

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2020年07月30日

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「３章ディラック場（７）」の数式の検討（その１）

$V^{\alpha }\rightarrow \left ( \delta {^{\alpha }}_{\beta } -\frac{i}{2}\omega _{\mu \nu }(\mathcal{J}^{\mu \nu }){^{\alpha }}_{\beta }\right )V^{\beta }\; \; \; \; \; \; \; \; \; (3.19)$

特に難しいことをするつもりはなく、（3.19）式から（3.20）および（3.21）が出てくる理屈をたどります。まず（3.19）式を再掲しましょう。　また、（3.18）式から　なので、　　からゼロでないのは　　　　よって、1行2列目の要素は　 …

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2020年07月24日

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３章ディラック場（７）

$(\mathcal{J}^{\mu \nu })_{\alpha \beta }= i(\delta {^{\mu }}_{\alpha }\delta {^{\nu }}_{\beta }-\delta {^{\mu }}_{\beta }\delta {^{\nu }}_{\alpha })\; \; \; \; \; \; \; \; \; (3.18)$

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の7回目を読んでいきたいと思います。私たちにこの権利があることを確認するために、特定の（単に帽子をとる）表現を見てみましょう。 4×4行列　を考えます。（ここで、μとνは、6つの行列のどれが必要かを示し、αとβは、行列の成分を示…

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2020年07月22日

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「３章ディラック場（６）」の数式の検討

$J^{\mu \nu }= i\left (x^{\mu }\partial ^{\nu } -x^{\nu }\partial ^{\mu } \right )\; \; \; \; \; \; \; \; (3.16)$

具体的には (3.16) 式から (3.17) 式の導出を考えます。まず、該当式を再掲します。　　 (3.16) 式から　　　　　　　　　　　　　　よって、　　　　　　　　　　　　　　　　

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2020年07月20日

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量子場と波動関数の違いの分かる問題10

$\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty } |x_{1},x_{2}\rangle \langle x_{1},x_{2} |\psi ^{(2)} \rangle dx_{1}dx_{2}= |\psi ^{(2)} \rangle$

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題10です。 [問題10]---------------------------- 任意の２粒子状態に対して下記の式を示せ。　この結果は、量子場の状態空間の2粒子セクターにおける完全性の関係式を意味している。　 -----------…

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2020年07月19日

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量子場と波動関数の違いの分かる問題9

$|x_{1},x_{2}\rangle= |x_{2},x_{1}\rangle=\hat{ \Psi }^{\dagger }(x_{1})\hat{ \Psi }^{\dagger }(x_{2})|0\rangle$

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題9です。 [問題9]----------------------------- 下記のように２つの位置に局在する同種粒子の状態を定義する。　 (9.a) この状態は粒子数演算子の固有値２に対応する固有状態であることを示せ。　 (9.b…

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2020年07月17日

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量子場と波動関数の違いの分かる問題8

$\psi (x_{1},x_{2})= \psi (x_{2},x_{1})$

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題8です。 [問題8]----------------------------- 　を満たす２粒子系の波動関数を考える。これに対して下記の量子場状態を定義する。　 (8.a) この状態は粒子数演算子の固有値２に対応する固有状態であることを…

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2020年07月15日

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３章ディラック場（６）

$\boldsymbol{J}= \boldsymbol{x}\times \boldsymbol{p}= \boldsymbol{x}\times (-i\nabla)\; \; \; \; \; \; \; \; \; (3.15)$

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の6回目を読んでいきたいと思います。私たちの現在の問題では、ローレンツ変換群のジェネレーターの交換関係を知る必要があります。回転群の場合、ジェネレーターを微分演算子として書くことで交換関係を計算できます。式　から、角運動量の交…

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2020年07月14日

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量子場と波動関数の違いの分かる問題7

$\hat{N}= \int_{-\infty }^{\infty }\hat{\Psi }^{\dagger }(x)\hat{\Psi }(x)dx$

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題7です。 [問題7]----------------------------- 　で定義される粒子数演算子は、２体系のポテンシャルを含んだハミルトニアンとも可換であることを示せ。　 ---------------------------…

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2020年07月13日

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量子場と波動関数の違いの分かる問題6

$\Lambda (x-{x}')= \Lambda ({x}'-x)$

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題6です。 [問題6]----------------------------- 　を満たす２体ポテンシャル項を含んだ下記のハミルトニアンを考える」。　　　このときの量子場のハイゼンベルグ演算子は下記の非線形シュレディンガー方程式を…

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2020年07月12日

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３章ディラック場（５）

$U= e^{-i\theta ^{i}\sigma ^{i}/2}\; \; \; \; \; \; \; \; \; (3.11)$

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の５回目を読んでいきたいと思います。ローレンツ群のこの質問に答える前に、より単純な群、つまり3次元の回転群について考えてみましょう。この群には、さまざまなスピンの粒子の n 成分の波動関数を回転させる行列として量子力学でよく知られているすべて…

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2020年07月08日

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量子場と波動関数の違いの分かる問題5

$i\hbar\frac{\partial \psi (t,x)}{\partial t}= \left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right )\psi (t,x)$

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題5です。 [問題5]----------------------------- 　　というシュレディンガー方程式と初期条件を満たす１粒子に波動関数は、シュレディンガー場の理論においては下記の式で書けることを示せ。　 -------…

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2020年07月07日

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量子場と波動関数の違いの分かる問題3,4

$G(t,x,{x}')\equiv \langle 0|\hat{\Psi }(t,x) \hat{\Psi }^{\dagger }({x}') |0\rangle$

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題3,4です。 [問題3]----------------------------- 前提：量子場に対するグリーン関数　題意：グリーン関数が次の２つの関係式を満たすことを示せ。　　 ------------------------…

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2020年07月07日

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３章ディラック場（４）

$\110dpi \Phi _{a}$

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の４回目を読んでいきたいと思います。このテンソル表記法では、大きなクラスのローレンツ不変方程式が得られますが、まだまだあることがわかります。それらをどのように見つけるのでしょうか？場に対して考えられるすべての変換法則を体系的に見つけようとする…

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2020年07月06日

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量子場と波動関数の違いの分かる問題１,2

$\left [ \hat{\Psi }(x), \hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\right ]= \delta (x-{x}'),\; \; \left [ \hat{\Psi }(x), \hat{\Psi }({x}')\right ]=0$

堀田昌寛先生がツイッターで「量子場と波動関数の違いの分かる問題」というのを出題されていて、私のような門外漢は一問ずつ虚心坦懐に自力で解いていくのが良いと思います。すでに解かれている方のブログ記事などがありますが、極力見ないで解こうと思います。 [問題１]----------------------------- 前提： ①交換…

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2020年07月05日

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