テーマ:場の量子論

「調和振動子の例(1)、(2)」の再掲

「調和振動子の例(1)、(2)」を書き直して再掲します。 ハイゼンベルグ表示の量子力学の例として「調和振動子」に適用してみましょう。 調和振動子自体は何度も書いているので、別に新しい話をする訳ではなく「場の量子論」に繋げたいからという考えです。 次図のような、モデルを考えましょう。 ハミルトニアンは次の式になりま…
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「ハイゼンベルグの量子力学」を再掲

「ハイゼンベルグの量子力学」を書き直して再掲します。 シュレーディンガー流との主な違いは、「時間発展に対する見方」になります。 ----------------------------- シュレーディンガー表示: 状態ベクトルは時間変化を示す \(\phi (x,t)=\exp (-iEt/\hbar)\phi (x)\)  …
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調和振動子と生成消滅演算子をもう少し考える

シュレディンガー方程式で生成消滅演算子を考えてみます。 ここで、 とすれば から、最初にあげたシュレディンガー方程式の左辺は よってシュレディンガー方程式は から よって、 ここで、 この \(\dagger\) というのは表現が良くないですが、、 …
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(12)

今回は演習問題3にトライします。 [問題3]-------------------------- 前問1,2と同じ記号を用いて、\(\theta\psi _{0}=0\) であることを証明せよ。\(\chi\) が \(p\chi=0\) を満足するベクトルとするとき であることを示せ。 注意:シュレディンガーの…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(9)

今回は「輻射の量子論」に対して調和振動子の応用を考えます。 まず「輻射」と「放射」は同じ意味ですが、これについては「新・演習 量子力学」P107のコラムから引用してみましょう。 -------------------------------- 一昔前、熱放射は熱輻射とよばれた。車輪の中心から輻が出ていて、それが輻射の語源になっ…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(8)

今回は「原子の振動」に対して調和振動子の応用を考えます。 「二原子分子」を考えます。 \(V(r)\) : 距離 \(r\) だけ離れた2個の原子のポテンシャル \(\boldsymbol{q}_{1},\; \boldsymbol{q}_{2}\) : これら2個の座標ベクトル よって、 二原子分子のエネルギーは…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(7)

今回は調和振動子の応用についての問題を解きます。 [問題]------------------------ もし二次元の振動子のエネルギーが の形をしていれば、このエネルギーは を代入することによって、正規の形式に帰着することを示せ。ただし、 \(c_{1}>0\) および \(c_{1}c_{2}…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(6)

今回は調和振動子の応用について勉強しますが、まず準備段階というところです。 今後、具体例として (i)原子の振動 (ii)輻射 について考えることになるのですが、まずその準備です。 これまでの理論を、数個あるいは多数の自由度を持つ振動子に拡張することは容易です。 エネルギーは の形に帰着します。もし と書く…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(5)

今回は「平均値とゆらぎ」について勉強します。 規格化された固有ベクトル \(\psi ^{(j)}\) で、それに対応するエネルギーが \((j+1/2)\hbar\omega\) の固有状態にある振動子を考えます。 から、 \(\psi ^{(j)}\) は0オリジンで \(j\) 番目の要素が1でその他の要素がゼロの…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(4)

今回は問題を解きます。 [問題]---------------------------------- (a) \(c\) を任意の数とするとき、\(\psi _{k}= c^{k}(k!)^{-1/2}e^{-c^{2}}\) を成分とするベクトル \(\psi\) は、\(A\) の固有ベクトルであることを示し、そして、対応す…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(3)

今回は「演繹的な方法」を勉強します。 前記事までは \(A\) を天下り的に与えられましたが、これをもう少し演繹的に求めようということです。 とりあえず (\(c_{1}\) は数)という形にすることを考えます。 普通に考えると2通りあるのですが、ここでは として つまり、 で \(c_…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(2)

今回は問題を解くことにします。 [問題]---------------------------- \(N=A^{\dagger}A\) であるとき、\(N\) の固有値は、\(0,1,2,\cdots\) であることを示し、そして、正の整数値 \(n\) に対して   であることを帰納法によって証明せよ。ただし \([A…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(1)

「ハイゼンベルク形式による量子力学」という本を持っているのですが、その「調和単振動子」の章を勉強してみます。 この本の表現なんですが、演算子にハット(\(\hat{\;}\)) を付けてないので分りづらいのと、複素共役の意味での (*) をエルミート共役の意味でも使っています。気が付いたところでは (\(\dagger\) ) に…
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「ハイゼンベルグ表示の調和振動子」を書き直し

「ハイゼンベルグ表示の調和振動子(1)」と「ハイゼンベルグ表示の調和振動子(2)」という記事を書いていますが、ちょっと誤りがあるようなので、書き直してみます。 ハミルトニアン演算子   ここで、ハイゼンベルグ描像での基礎方程式   および   という公式から、     なので、   つ…
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「『量子化』について」を再掲

『量子化』についてを再掲します。 いま \((q,p,t)\) の関数 \(f(q,p,t)\) を考えます。この時間微分は となるのですが、正準方程式 \(dq/dt=\partial H/\partial p\; ;\; dp/dt=-\partial H/\partial q\) を使うと、 となります…
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中性スカラー場の練習問題(6)

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- 真空状態(または基底状態)は、 で定義される。場の量 の真空期待値は となることを示せ。すなわち、   また、   であることを確かめよ。 ----------------------------          「中…
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中性スカラー場の練習問題(5)

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- 相互作用のないハミルトニアンは粒子数演算子と交換することを示せ。 したがって相互作用がないときは、粒子数は保存する。 ---------------------------- ハミルトニアンは   なので、            …
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中性スカラー場の練習問題(4)

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- 演算子   は   を満たすことを証明せよ。ただし       である。この を粒子数演算子と呼ぶ。 ----------------------------                         …
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中性スカラー場の練習問題(3)

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- ハミルトニアンをノーマル積の形で書くと、      を確認せよ。 ----------------------------       から                        よって、     …
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中性スカラー場の練習問題(2)

問題を続けましょう。 [問題]----------------------- 前問における場が、交換関係     を満たすとき、      を導け。 ----------------------------       と表記して         積分は で変わらないと考えられることと、 …
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中性スカラー場の練習問題(1)

少し復習しましょう。これは 『「ちょっと予習の備忘録(1)」を再掲』を再考 にリンクを張ってある あもんさん の模範解答でいいのですが、改めてトライしてみたいと思います。 [問題]----------------------- 場の量が   で与えられたとき、逆関係     を導出せよ。 なお、   であり、デル…
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3章 ディラック場(15)

"3.3 Free-Particle Solutions of the Dirac Equation" 「3.3ディラック方程式の自由粒子解」の3回目を読んでいきたいと思います。 実際には、特定のスピノル を使用すると便利な場合があります。 ここでの有用な選択は、 の固有状態です。 たとえば、 (第3軸に沿ってスピン上)の場合、…
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3章 ディラック場(14)

"3.3 Free-Particle Solutions of the Dirac Equation" 「3.3ディラック方程式の自由粒子解」の2回目を読んでいきたいと思います。 これで、静止系に u(p) の一般的な形ができたので、ブーストにより、他の慣性系での u(p) を取得できます。3方向に沿ってブーストを検討してください…
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3章 ディラック場(13)

"3.3 Free-Particle Solutions of the Dirac Equation" 「3.3ディラック方程式の自由粒子解」の1回目を読んでいきたいと思います。 ディラック方程式の物理を理解するために、平面波の解法について説明します。 ディラック場ψはクラインゴルドン方程式に従うため、平面波の線形結合として記述で…
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