テーマ:場の量子論

「Peskin 2章 クラインゴードン場(1)」の数式の検討

記事「Peskin 2章 クラインゴードン場(1)」に出てきた数式をチェック検討します。 とりあえず、運動エネルギーをニュートン力学で書いた場合を検討します。   なので、            ここで{ }の中を見ていくと、               よって   …
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Peskin 2章 クラインゴードン場(1)

基本なので、続けて読んでみます。 2.1 場の視点の必要性 場の量子論は、場の動的システムへの量子力学の応用であり、粒子のシステムにおける基本コースと同じ感覚です。これは、素粒子物理学の現在の状態を理解するために絶対に不可欠な主題です。いくつかの修正を加えて、私たちが議論する方法は、原子物理学、核物理学、および凝縮物性物理学…
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Peskin をちょっと読んでみる(8)

この本では Chater 6 の初めで、図1.4のような高次のファインマン図から生じる物理学の多くを分析します。 最終状態に追加の光子を含むこれらの図の最後の4つが必要であることがわかります。これは、非常に低エネルギーの光子の存在に気付くほど感度の高い検出器がないためです。 したがって、そのような光子を含む最終状態は、ミューオンペアだけ…
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Peskin をちょっと読んでみる(7)

次に、さまざまなプロセスの断面積を計算できます。 Bhabha散乱として知られる のプロセスは、2番目に許可される図があるため、より困難です(図1.6参照)。 最初に2つの図の振幅を加算し、次に2乗する必要があります。 他のプロセスには、初期および/または最終状態の光子が含まれています。 パラダイムの例はコンプトン散乱…
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Peskin をちょっと読んでみる(6)

これで、 の式を書き留めて、ダイアグラムから直接すべてを読み取ることができます。       これを (1.3) 式と詳細に比較することは有益です。 (1.10)から断面積(1.8)を導出するために、γ行列とディラック・スピノルに関するいくつかの具体的な知識を補って、上記で使用した角運動量の引数に戻ることができま…
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Peskin をちょっと読んでみる(5)

装飾と質問 基礎となる形式主義にはほとんど訴えず、角運動量の引数を適用することにより、反作用 の量子電気力学によって予測される角度分布を取得しました。ただし、高エネルギー制限の単純化機能と重心系を非常に強力な方法で使用しました。単純化した仮定のいずれかを緩和すると、ここまでに示した分析は破綻します。それでは、一般的なQED計算を…
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Peskin をちょっと読んでみる(4)

次に、電子と陽電子が両方とも右利きの場合を考えます。 合計スピン角運動量はゼロですが、他変数はもう少し微妙です。3次元で角運動量 を追加したときと同様に、 Clebsch-Gordan 係数が  の縦偏光光子が得られると予想される場合があります。しかし、実際には4次元ローレンツ群に角運動量を追加しているため、スピン(回転下の状態の…
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Peskin をちょっと読んでみる(3)

ベクトル の形を考察します。  は強度 (電子の電荷)で光子に結合するため、マトリックス要素は に比例するはずです。 ここで、次図に示す特定の初期および最終スピン方向を検討しましょう。電子とミューオンは、運動の方向と平行なスピンを持っており、「右利き」です。同様に、反粒子は「左利き」です。 電子と陽電子のスピンは、合計で …
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Peskin をちょっと読んでみる(2)

ファインマン則によれば、各ダイアグラムは への寄与に直接変換できます。この規則では、ダイアグラムの各要素に短い代数ファクターを割り当て、これらのファクターの積は摂動系列の相関項の値を与えます。 しかし、 の結果の式を使用可能な形式に変換することは、まだ簡単ではないので、以降の章で、このような計算を行うための非常に有用な技術を開発し…
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Peskin をちょっと読んでみる(1)

「場の理論入門」シリーズはちょっとお休みして、"An Introduction to Quantum Field Theory" の "Invitation: Pair Production in e+e- Annihilation" を斜め読みしてみたいと思います。 e+e- の対消滅における対生成 図は電子と陽…
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場の理論入門(39)

「位相速度」と「群速度」を相対論的粒子に対して考えます。 相対論的粒子では   なので、位相速度は   ここで、 < から は光速を超えることになる。位相速度はエネルギーや情報を伝える速度ではないので、光速を超えてもおかしくないらしい。 群速度は   であるが、ここでは関係式   …
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場の理論入門(38)

今回は波の2種類の速度、「位相速度」と「群速度」について考えます。 波動関数の時刻 での値は、平面波の場合   なので、      が成立する。したがって、  ・ 波の「山や谷」は速さ で進んでいく ことが分かる。この速さ は、指数関数の中の「位相」から求めた速さなので位相速度と呼ぶ。 …
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場の理論入門(37)

前記事で取り残した関係を考えます。 前記事では   で両辺を時刻 0 から t まで積分すると、     つまり   ここで、ガウス波束    において、波束の中心位置 での値を考えると   なので、   となる。ここで、   は、ラグランジアン …
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場の理論入門(36)

「場の理論入門(34)」で求めた波束モデルの時間発展を考えます。 波束モデルにおいて   としてガウス波束となる。   これをシュレディンガー方程式に代入することを考える。 とりあえず、時間微分を計算する。         空間微分については                …
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場の理論入門(35)

「波束の運動と古典力学」の中の話に入っていきます。 ・ハミルトニアンと波動関数 ポテンシャル が波束に何らかの影響を与える → は生成消滅演算子の組み合わせと関係しているはず よって、次の演算子を考える   ここで、            まとめると、 は の固有状態で、対応す…
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場の理論入門(34)

「波束の運動と古典力学」の導入について考えます。 ・質点の「運動状態」  位置は時刻 の関数 で、運動量は  場の理論では波束と呼ばれる1粒子状態がある → 粒子と同定できるか?  今後、空間座標 との混乱を避けるため、「質点の位置 」やそれに相当するを以下では と書くことにする。  連続な1次…
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場の理論入門(33)

「運動量を与える演算子」を考えます。 これは「位置を与える演算子」から類推して波数空間で考えて   よって         ここから、      なので、               ここで、生成消滅演算子をフーリエ変換すると、         ここ…
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場の理論入門(32)

「位置を与える演算子」を考えます。 波動関数が規格化されているとして    位置 x の平均は   ここで、前回の   に対して位置 x の平均を求めると   ですが、被積分関数が奇関数なので、   となります。 場の理論 : 状態は生成消滅演算子で書き、その上で演…
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場の理論入門(31)

原点に集まった状態、つまり釣り鐘型の分布になる場合を考えます。 次のような状態を考える。   つまり、波動関数   で書き表わされる1粒子状態である。ここで、            つまり         から      なので、   とすれば、正…
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場の理論入門(30)

質量が m の粒子について、1粒子状態の時間変化を与えるハミルトミアンを考えます。                     状態 に演算子 を適用すると、         ここで、   という関係を使うと            つまり、   となり、状…
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場の理論入門(29)

ここで、フーリエ変換・逆変換を改めて考えます。 適当に波動関数 選んで定義した1粒子状態   において前記事で最後に示した生成演算子を代入すると      ここで最後の式の( )の中を、 とすると、   と書くことができる(変数を x→k)。 ここで、   で、このような変換を…
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場の理論入門(28)

 L → ∞ という極限を考えることを始めます。 [前提]-----------------------------------------------------   ここで、   ---------------------------------------------------------- L → …
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場の理論入門(27)

もう少し計算を広げます。 さて、   から、   で、両辺を積分すると、   で左辺は   なので、   エルミート共役をとっても良いし、同様に考えても   この結果を使うと   であり、「場の理論入門(23)」に示したように   なの…
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場の理論入門(26)

さらにハミルトミアンの連続空間化を考えます。 「場の理論入門(24)」の結論   において部分積分を考えると、      よって、   という前記事の結論が出てきます。同様な論理で   となり3つの表現があることが分かります。 ここで、   を考えると、   …
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場の理論入門(25)

別の方法でハミルトミアンの連続空間化を考えます。                       よって   となります。 今日はこの辺で。。
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場の理論入門(24)

ハミルトミアンの連続空間化を考えます。 「場の理論入門(17)」で導入した を少し変形します。               ということを考えて   となります。ここで、     から   であり、 の極限をとると、右辺は積分となり   と表わせます。 …
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場の理論入門(23)

今回はまた「1粒子状態」を考えます。 具体的には生成・消滅演算子 に対応した連続な1次元空間での状態です。   生成演算子を作用させると、     位置 と に粒子がある2粒子状態:   また、消滅演算子を作用させると、   さらに   ここで、 となった場合…
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場の理論入門(22)

今回は「デルタ関数」を考えます。 前記事で上げた式から   和をとる順番を交換すると   です。ここで、「場の理論入門(13)」に示すように   なので、   という至極当然な結果となります。 式において の極限を考えると   同様に 式において の極限を考え…
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場の理論入門(21)

今回は波数空間について考えます。   ここで、 のもとで から類推して演算子に対応させると   ととると d → 0 の極限を考えると   まとめると、     ここで格子空間にもどって考えます。                周期的境界条件を使うと、両端の部分は無くな…
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場の理論入門(20)

確率密度関数について考えます。 平面波状態  d → 0 でどうなるのか?  を使って ここで、 d は無くなる。      から   時間に依存しない部分を とすると   となります。よってシュレディンガー方程式の左辺は   右辺は      よっ…
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