テーマ:場の量子論

量子場と波動関数の違いの分かる問題7

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題7です。 [問題7]-----------------------------   で定義される粒子数演算子は、2体系のポテンシャルを含んだハミルトニアンとも可換であることを示せ。   ---------------------------…
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量子場と波動関数の違いの分かる問題6

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題6です。 [問題6]-----------------------------   を満たす2体ポテンシャル項を含んだ下記のハミルトニアンを考える」。      このときの量子場のハイゼンベルグ演算子は下記の非線形シュレディンガー方程式を…
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3章 ディラック場(5)

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の5回目を読んでいきたいと思います。 ローレンツ群のこの質問に答える前に、より単純な群、つまり3次元の回転群について考えてみましょう。 この群には、さまざまなスピンの粒子の n 成分の波動関数を回転させる行列として量子力学でよく知られているすべて…
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量子場と波動関数の違いの分かる問題5

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題5です。 [問題5]-----------------------------     というシュレディンガー方程式と初期条件を満たす1粒子に波動関数は、シュレディンガー場の理論においては下記の式で書けることを示せ。   -------…
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量子場と波動関数の違いの分かる問題3,4

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題3,4です。 [問題3]----------------------------- 前提:量子場に対するグリーン関数   題意:グリーン関数が次の2つの関係式を満たすことを示せ。     ------------------------…
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3章 ディラック場(4)

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の4回目を読んでいきたいと思います。 このテンソル表記法では、大きなクラスのローレンツ不変方程式が得られますが、まだまだあることがわかります。それらをどのように見つけるのでしょうか? 場に対して考えられるすべての変換法則を体系的に見つけようとする…
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量子場と波動関数の違いの分かる問題1,2

堀田昌寛先生がツイッターで「量子場と波動関数の違いの分かる問題」というのを出題されていて、私のような門外漢は一問ずつ虚心坦懐に自力で解いていくのが良いと思います。すでに解かれている方のブログ記事などがありますが、極力見ないで解こうと思います。 [問題1]----------------------------- 前提: ①交換…
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3章 ディラック場(3)

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の3回目を読んでいきたいと思います。 に使用される変換法則 (3.2)は、場の可能な最も単純な変換法則です。 これは、要素が1つしかない場の唯一の可能性です。 しかし、より複雑な方法で変換する複数要素の場の例を知っています。最もよく知られてい…
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3章 ディラック場(2)

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の2回目を読んでいきたいと思います。 例として、クライン・ゴルドン理論を考えます。 任意のローレンツ変換を4×4行列 の   として記述できます。この変換の下でクライン・ゴルドン場 はどうなるでしょう?場 は、空間全体に分布するあ…
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3章 ディラック場(1)

"The Dirac Field" の導入部と "3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の1回目を読んでいきたいと思います。 最も単純な相対論的場の方程式を徹底的に扱ったので、次に最も単純なディラック方程式に移ります。ディラック方程式を元の形で、つまり単一粒子の量子力学的波動方程式とし…
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2章 問題2.2 を少し考えてみる(1)

これも全部解くというわけではありませんが、とりあえず考えてみます。 作用から、ラグランジアン密度は   さらに、   から   よって   つまり   と、ここまでは簡単なのですが、次の対角化が良く分かりません。。
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2章 問題2.1をちょっと考えてみる(1)

正解に至らないかもしれませんが、とりあえず考えてみましょう。 まず (a) から。。 作用から考えてラグランジアン密度は   で、オイラ-・ラグランジェ方程式は   ですが、ラグランジアン密度は微分しか含んでいないので、第一項はゼロになります。よって、まず                      …
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2章 問題2.2および2.3を読む

ここも、まず訳すだけやってみます。 2.2 複素スカラー場。クライン・ゴルドン方程式に従う複素数値のスカラー場の場の理論を考えてみましょう。この理論の作用は次のとおりです。   の実数部と虚数部ではなく、 と を基本的な動的変数と見なして、この理論を分析するのが最も簡単です。 (a) と への共役運動量…
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2章 問題2.1を読む

本来問題を解かなくては意味がないのですが、まず訳すだけやってみます。 2.1 古典電磁気学(ソースなし)は、次の作用から生じます。   ここで、   (a) マクスウェルの方程式をこの作用のオイラー・ラグランジュ方程式として導出しなさい。なお成分 を動的変数として扱います。 と を識別して、方程式を…
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2章 クラインゴードン場(21)

"2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time" の9回目、"Particle Creation by a Classical Souce"を読んでいきたいと思います。 古典的なソースによる粒子生成 ただし、1つのタイプの相互作用がありますが、これはすでに処理できるようになっています。外部…
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2章 クラインゴードン場(20)

"2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time" の8回目、"The Klein-Gordon Propagator"の2回目を読んでいきたいと思います。 (2.54) で使用されているのは1つだけですが、(2.58) の 積分は4つの異なる経路に従って評価できます。 第4章では、別の極の処方…
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2章 クラインゴードン場(19)

"2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time" の7回目、"The Klein-Gordon Propagator"の1回目を読んでいきたいと思います。 交換子 についてもう少し検討してみましょう。c-数なので、 と書くことができます。これは、今のところ > であると仮定して、次のよう…
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2章 クラインゴードン場(18)

"2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time" の6回目、"Causality"の3回目を読んでいきたいと思います。 因果律は、セクション2.1の終わりに示唆されているように、Klein-Gordon 理論でも維持されています。ただし、このメカニズムを正しく理解するには、粒子と反粒子の励起が異…
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2章 クラインゴードン場(17)

"2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time" の5回目、"Causality"の2回目を読んでいきたいと思います。 ただし、因果関係を実際に説明するには、粒子が宇宙のような間隔で伝播できるかどうかではなく、ある点で実行された測定が、最初の点からの間隔が宇宙のような別の点での測定に影響するかど…
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「2章 クラインゴードン場(16)」の数式の検討

記事「2章 クラインゴードン場(16)」に出てきた数式をチェック検討します。                      さて、   として、極座標   を使うと      よって  の場合は、        変数を  とすると、    よって …
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2章 クラインゴードン場(16)

"2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time" の4回目、"Causality"の1回目を読んでいきたいと思います。 因果律 ここで、この章の最初に挙げた因果律の問題に戻りましょう。ハイゼンベルグ描像でまだ働いている現在の形式では、粒子が から に伝播する振幅は です。この量を…
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2章 クラインゴードン場(15)

"2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time" の3回目を読んでいきたいと思います。 方程式(2.47)は、量子場 の二重粒子と波の解釈を明示します。一方、 は、ヒルベルト空間演算子として記述され、場の退出の量である粒子を作成および破壊します。一方、 は、Klein-Gordon方程式の…
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「2章 クラインゴードン場(14)」の数式の検討

記事「2章 クラインゴードン場(14)」に出てきた数式をチェック検討します。   という「2章 クラインゴードン場(9)」で出てきた結果で、まず後半の消滅演算子の関係式に注目します。   よって   同様に   よって   また、      同様に    …
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2章 クラインゴードン場(14)

"2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time" の2回目を読んでいきたいと思います。 と の時間依存性は、生成および消滅演算子の観点から記述することにより、よりよく理解できます。最初に、任意の に対して   および   であることに注意してください。同様の関係…
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「2章 クラインゴードン場(13)」の数式の検討(その2)

記事「2章 クラインゴードン場(13)」に出てきた数式をチェック検討します。 今回は、基本に戻ってハミルトミアンを計算します。 まず、ラグランジアン密度は   共役運動量は   ハミルトミアン密度は         よって、 ハミルトミアンは   となります。 したがって、 …
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「2章 クラインゴードン場(13)」の数式の検討(その1)

記事「2章 クラインゴードン場(13)」に出てきた数式をチェック検討します。 その前に、交換関係をおさらいしておきましょう。     これを前提に計算すると、            また      から               同様に     さらに …
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2章 クラインゴードン場(13)

"2.4 The Klein-Gordon Field in Space-Time" の1回目を読んでいきたいと思います。 2.4 時空内のクラインゴードン場 前のセクションでは、シュレディンガー描像のクライン・ゴードン場を量子化し、相対論的粒子の観点から結果の理論を解釈しました。このセクションでは、ハイゼンベルグ描像に切り…
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2章 クラインゴードン場(12)

"2.3 The Klein-Gordon Field as Harmonic Ocsillators" の7回目を読んでいきたいと思います。 最後に、 の解釈について考えてみましょう。展開(2.25)から、   は、明確な運動量を持つ単一粒子状態の線形重ね合わせであることがわかります。係数 を除いて、これは位置 …
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2章 クラインゴードン場(11)

"2.3 The Klein-Gordon Field as Harmonic Ocsillators" の6回目を読んでいきたいと思います。 量子状態のヒルベルト空間では、ローレンツ変換 がユニタリ として実装されます。 正規化条件(2.35)は、   であることを意味します。 この変換を演算子 に作用する…
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