テーマ:スピンと角運動量

SU(2)代数とその表現_(4)

次の例題を考えましょう。 [例題3]---------------------------------------------------   の行列要素           となり、これ以外の行列要素はゼロであることを示せ。 -----------------------------------------------…
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SU(2)代数とその表現_(3)

例題を続けます。 [例題2]---------------------------------------------------  前記事の結果から と とを同時に対角化することができる。  その固有関数を とすると、その固有値は         となることを示せ。   --------------------…
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SU(2)代数とその表現_(2)

では、例題をやっていくことにします。 [例題1]---------------------------------------------------   と、各成分 が可換であること、すなわち   であることを証明せよ。 ------------------------------------------------…
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SU(2)代数とその表現_(1)

いままでは数学寄りの話だったんですが、量子力学の話題に寄せていくことにしましょう。 [引用]-----------------------------------------------------   の生成元 のリー代数は、 で与えられる。  この代数だけから、演算子としての の性質についてどれだけのことが導かれるかを…
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リー群とそのリー代数(8)

今回も「リー代数の性質」の続きを勉強しますが、どうも引用だけで終わってしまうような。。 [引用3]---------------------------------------------------  半単純(semisimple)なリー群には、典型群(classical group) と例外群(exceptional gro…
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リー群とそのリー代数(7)

今回は「リー代数の性質」について勉強します。 [引用1]---------------------------------------------------  いま、 をリー代数の元、 を実数とする。  リー代数には加法 と乗法 、そしてスカラー倍 が定義されており、 は次の性質を示す。  1) (分配法則) …
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リー群とそのリー代数(6)

また話を戻して、3次元回転群 SO(3) について再度考えます。 [引用]-----------------------------------------------------  任意の について、 は可換群 の元であり、非可換群 の部分群になっている。   は リー群の3次元多様体の基底になっており、群の局所性…
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リー群とそのリー代数(5)

前記事で求めた Xi の積を確認しておきます。                      この結果から交換関係を求めることができます。       逆も含めて、まとめて書くと     となりますが、「レビ・チビタ(Levi-Civita)記号」を使うと、   と簡潔な表現ができ…
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リー群とそのリー代数(4)

次に3次元回転群 SO(3) を見ていきます。2次元回転群 O(2) は1つの回転角度で表現できたので、直観的には分かりやすいです。それに比べて3次元回転は3つの回転角度があって少し複雑になります。 3つの回転角度というのは「SO(3)とSU(2)」というpdfから図で分かると思います。 さて、この本では少しテンポが速くて、…
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リー群とそのリー代数(3)

2次元回転群 O(2) の例の続きを確認していきましょう。 いま、 として、 をマクローリン展開すると、   となり、これが O(2) の無限小変換ということになります。 ここで前記事に書いたことを想いだすと、   という微分方程式になります。これを解くと   となります。これは、微小な回転を積み重ねることによって、…
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リー群とそのリー代数(2)

前記事では概要を述べただけなので、ここでは少し具体的な例を考えてみたいと思います。実際には完全独習量子力学に書いてある「線形リー群の単位元 e の近傍の性質を見る」ということで2次元回転群 O(2) を考えます。  の具体例として、原点中心の回転行列なので、   と表わせます。         つまり、    とい…
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リー群とそのリー代数(1)

群の定義のおさらい(1)あたりでリー群に触れていますが、もう一度おさらいをしてみます。 昨年完全独習量子力学という本を買って積読状態でした。この本の該当箇所を読んで自分なりに噛み砕いていきたいと思います。 (とね日記で とねさん が書評を書かれていますね。それによると後ろの方がかなり難しいようですが、ここいら辺の話題なら私もついてい…
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ブロッホ方程式の展開問題

では、前記事の方程式を少しいじってみます。 [問題]------------------------------------ 微分方程式:   について、初期条件:   のもとで、特殊解を求めよ。  ------------------------------------------ z 成分方程式は次のように書…
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磁気緩和現象とブロッホ方程式―縦緩和と横緩和

この標題は個人的には初めて聞く言葉が多いですね。本題に入る前に調べてみましょう。 磁気緩和 を読むと、熱平衡状態からズレていたときに、その平衡状態へ変化するまでの現象をいうようです。 この本を引用すると、 [引用]------------------------------------  磁気モーメントをもつ量子的粒子の集団…
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励起、磁気共鳴

ラーモア歳差運動のモデルに回転磁場を加えることを考えます。 静磁場 に比べて弱く、 面を角速度 で回転する磁場 -電磁波- を追加的に加えることを考えます。大きさは とすると、   となります。 前記事と同じように考えると、 は有効磁場ベクトル   の影響を受け、このベクトルのまわりを角速度 で回転すること…
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ラーモア歳差運動の例題

では、標題のことについて考えます。 [問題]------------------------------------------------------ 角運動量についての回転運動方程式を用いて、外部磁場 が一定値 (静磁場)のとき、磁気モーメントが角速度ベクトル で回転することを示せ。 ----------------…
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核スピン、ラーモア歳差運動、共鳴周波数

外部磁場内の磁気モーメントの影響の一部を考えます。 核スピン  原子核における殻構造:  原子核中の核子(中性子・陽子)は基底状態では、エネルギーの低い順番で配置される。  このとき、核子の全角運動量の向きが相殺してゼロになるように配列される。  陽子数 Z と中性子数 N が両方とも偶数 → 原子核全体の全…
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異常ゼーマン効果の例題

標題の「異常ゼーマン効果」をもう少し考えてみます。 [問題]------------------------------------------------------ スピン自由度まで考慮する場合、 と の値に応じて、 重の縮退が解けて、偶数本のスペクトルが現れることを示せ。  ---------------------…
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正常ゼーマン効果の例題

標題の「正常ゼーマン効果」をもう少し考えてみます。 [問題]------------------------------------------------------ スピンを無視する場合、 の値に応じて、 重の縮退が解けて、奇数個 本のスペクトルが現れることを示せ。  -------------------------…
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ゼーマン効果

標題のゼーマン効果は簡単に言うと、外部磁場でエネルギー・スペクトルの縮退が解けることです。 外部磁場内の原子の電子エネルギー・スペクトルの縮退が解ける状況を考えます。 スピン自由度が無い場合: 外部磁場の方向を z 方向、つまり に選ぶと、 この図のように、軌道角運動量演算子の z 成分の固有値 の値( 単…
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量子力学における磁気モーメント(4)

もう少し一般的なことを考えます。 一般に、質量 、電荷の大きさ の粒子がスピンまたは軌道運動の角運動量の大きさ を持つとき、それに伴う磁気モーメントの大きさ が    と表わされます。ここで、 はg因子(g-factor)と呼ばれます。 さらに、    とおけば、    なので、γは磁気モーメントと角運動量の…
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量子力学における磁気モーメント(3)

本筋に戻って話を進めることにします。 まず、一定の磁束密度 下で、磁気モーメント を持つ小磁石の磁気的エネルギーは となることが前記事から分かりました。 ここで、電子のようなスピンを持った粒子は軌道角運動量とは関係のない固有磁気モーメント、つまりスピン磁気モーメントを持っていることになります。 (ここは「電子は本…
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量子力学における磁気モーメント(2)

では、知恵袋を私なりに読んでいくことにします。 磁場には自由電流が無いものとする。 すなわち、   である。 ここで前記事の最後に示したように直接磁気モーメントを検討するのではなく、これに等価な電流の流れる閉回路と外部磁場との相互作用を考えることになります。その閉回路は次の図のように仮定します。 ここで、前記事の内…
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量子力学における磁気モーメント(1)

標題の件について勉強したいと思います。 まず、「磁気モーメント」を調べます。 検索して分かりやすかったのはこのpdfの1枚目でした。ここでは磁場を H で表わしていますが、そこは単位系の違いということで判断していただきたいです。 ここで分からなかったのは、エネルギーが   となる理由でした。電磁気学で習ったような気がします…
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外部電磁場内の荷電粒子に対するシュレディンガー方程式

ここから「荷電粒子と電磁場の相互作用」という話題に入っていきます。 まず、標題の方程式を考えます。実は、この件は何べんも取り上げているのですが、おさらいということで再度考察します。 ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルを用いると、電場と磁束密度は次のようになります。    質量 m 、電荷 q の荷電粒子が外部電磁場 …
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CG係数の展開問題

CG係数の公式を使った計算の確認を行いたいと思います。 [問題]------------------------------------------------------ に対する簡単な場合のCG係数の公式を用いて次の値を確認せよ。  (1)   (2)    (3)   (4)   --------------…
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CG係数の直交規格性

標題の特性を確かめてみます。 [問題]------------------------------------------------------ のCG係数の公式を用いて直交規格性が成り立つことを示せ。 ------------------------------------------------------------…
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CG係数の漸化式の展開問題(2)

前記事の続き(問題の後半)を考えていきます。 2. の場合: 今度は復号の下をとった漸化式              に、前記事で に対するCG係数を代入、 に対するCG係数を求めることができます。 さらに、 に対するCG係数を用いて、 に対するCG係数を求めることができます。 同様に に対するCG係数を用い…
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CG係数の漸化式の展開問題(1)

では、漸化式をもう少し丁寧に見ていくことにします。 [問題]------------------------------------------------------ CG係数は、その漸化式と直交規格性がすべて計算できることを示せ。 ----------------------------------------------…
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CG係数の漸化式の証明

以前、天下り的に提示してあった漸化式の証明です。 [問題]------------------------------------------------------ 角運動量演算子の和の固有状態(3)示した漸化式                   を証明せよ。 -------------------------…
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