3章 ディラック場(5)

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の5回目を読んでいきたいと思います。

ローレンツ群のこの質問に答える前に、より単純な群、つまり3次元の回転群について考えてみましょう。 この群には、さまざまなスピンの粒子の n 成分の波動関数を回転させる行列として量子力学でよく知られているすべての n 次元の表現があります。次元数は、スピン量子数 s と n = 2s + 1 の関係があります。 最も重要な自明でない表現は、2次元であり、2×2 の 行列式の値が 1 のユニタリ行列です。これは

 
として表すことができます。ここで、 は3つの任意のパラメーターで、 はパウリシグマ行列です。
連続群の場合、恒等式に限りなく近い変換は、群のリー代数と呼ばれるベクトル空間を定義します。このベクトル空間の基底ベクトルは、リー代数または群のジェネレーターと呼ばれます。回転群の場合、ジェネレータは次の交換関係を満たす角運動量演算子 です。

 

有限回転演算は、これらの演算子を累乗することによって形成されます。
量子力学では、演算子

 

は軸 について角度 の回転を与えます。演算子 の交換関係は、これらの回転演算子の変異法則を決定します。したがって、交換関係(3.12)を満たす行列のセットは、(3.13)のようにべき乗によって回転群の表現を生成します。前の段落で示した例では、角運動量演算子

 

は、式(3.11)で与えられた回転群の表現を生成します。一般に、群の生成元の行列表現(適切な交換関係を満たさなければならない)を見つけて、これらの微小変換を累乗することにより、連続群の行列の再方向付けを見つけることができると言えます。

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