「調和振動子の例(1)、(2)」の再掲

「調和振動子の例(1)、(2)」を書き直して再掲します。 ハイゼンベルグ表示の量子力学の例として「調和振動子」に適用してみましょう。 調和振動子自体は何度も書いているので、別に新しい話をする訳ではなく「場の量子論」に繋げたいからという考えです。 次図のような、モデルを考えましょう。 ハミルトニアンは次の式になりま…
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「近日点移動についておさらい」のリンク

"Bertrand's theorem"関連で、過去に書いた「近日点移動についておさらい」の記事のリンク集を書いておきます。 (各々の記事で数式表示がおかしくなっていたので、書き直しておきました。) 近日点移動についておさらい(1) 近日点移動についておさらい(2) 近日点移動についておさらい(3) 近日点移動についておさ…
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前記事の「導出」部分の数式を追ってみる(1)

前記事の内容が分かりにくいので、もう少し考えてみます。 まず、動径方向の力は中心力と遠心力からなるので ここで「運動の恒量」は角運動量 \(L=mr^{2}\omega \) なので、 つまり、 さらに、 を使うと、 なので、運動方程式は で、もう少しまとめると …
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"Bertrand's theorem"の Wikipedia を訳してみる

「とね日記」さんの「三体問題 天才たちを悩ませた400年の未解決問題:浅田秀樹」を拝見して興味を持ち読んでみました。大変面白かったですね。この本については「とね日記」さんの該当記事を読んでいただけると良いと思います。 この本を読んでいて、色々と知らないことがあって、まずバートランドの定理に引っ掛かりました。 よって、"Bertr…
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数学問題

[問題]============================ \(x^{2}+xy+y^{2}-5x-4y+3\) を最小にする \(x,y\) とそのときの最小値を求めよ。 ================================= とすると、 であり、 なので、 つまり、\…
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Last Fair Deal Gone Down

Robert Johnson の14曲目で Last Fair Deal Gone Down をリンクしました。 まずはオリジナルです。 Robert Johnson "Last Fair Deal Gone Down" いわゆるブルースコード進行ではないですね。 Rory Block - Last Fair D…
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「エルミート多項式を再帰的プログラムで実装してみる」を再掲

「エルミート多項式を再帰的プログラムで実装してみる」のプログラム部分を Python3 で書き直してみます。 結果: (\(n=0\) の場合は基準点が \(+1\) であることに注意。) \(H_{0}(s)=1\) \(H_{1}(s)=2s\) \(H_{2}(s)=4s^{2}-2\) \(H…
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調和振動子と生成消滅演算子をもう少し考える

シュレディンガー方程式で生成消滅演算子を考えてみます。 ここで、 とすれば から、最初にあげたシュレディンガー方程式の左辺は よってシュレディンガー方程式は から よって、 ここで、 この \(\dagger\) というのは表現が良くないですが、、 …
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数学問題

[問題]============================ \(y=\tan x\) の逆関数を \(y=\arctan x\) と表し、\(x>0\) のとき、その値をラジアン単位で \(0\) と \(\pi/2\) の間にとる。このとき を満たす正の整数 \((m.n)\) の組をすべて求めよ。  =…
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Walking Blues

Robert Johnson の13曲目で Walking Blues をリンクしました。 まずはオリジナルです。 Walking Blues - Robert Johnson - The Complete Recordings 次は12弦のドブロというかスライドギターというのが珍しかったので Roy Rog…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(9)

今回は「輻射の量子論」に対して調和振動子の応用を考えます。 まず「輻射」と「放射」は同じ意味ですが、これについては「新・演習 量子力学」P107のコラムから引用してみましょう。 -------------------------------- 一昔前、熱放射は熱輻射とよばれた。車輪の中心から輻が出ていて、それが輻射の語源になっ…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(8)

今回は「原子の振動」に対して調和振動子の応用を考えます。 「二原子分子」を考えます。 \(V(r)\) : 距離 \(r\) だけ離れた2個の原子のポテンシャル \(\boldsymbol{q}_{1},\; \boldsymbol{q}_{2}\) : これら2個の座標ベクトル よって、 二原子分子のエネルギーは…
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数学問題

[問題]============================ 次の行列式の値を計算せよ。 ================================= これは対称行列の行列式なんですが、こういう場合の特別な解き方があるんでしょうか? 私は知らないので、オーソドックスな方法で計算しましょう。 まず2行目から…
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Cross Road Blues

Robert Johnson の12曲目で Cross Road Blues をリンクしました。 これはあまりに有名なので説明することはないのですが、、 まずはオリジナルです。 Robert Johnson CrossRoads - Cross Road Blues Song and Lyrics 次は有名なクリ…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(7)

今回は調和振動子の応用についての問題を解きます。 [問題]------------------------ もし二次元の振動子のエネルギーが の形をしていれば、このエネルギーは を代入することによって、正規の形式に帰着することを示せ。ただし、 \(c_{1}>0\) および \(c_{1}c_{2}…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(6)

今回は調和振動子の応用について勉強しますが、まず準備段階というところです。 今後、具体例として (i)原子の振動 (ii)輻射 について考えることになるのですが、まずその準備です。 これまでの理論を、数個あるいは多数の自由度を持つ振動子に拡張することは容易です。 エネルギーは の形に帰着します。もし と書く…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(5)

今回は「平均値とゆらぎ」について勉強します。 規格化された固有ベクトル \(\psi ^{(j)}\) で、それに対応するエネルギーが \((j+1/2)\hbar\omega\) の固有状態にある振動子を考えます。 から、 \(\psi ^{(j)}\) は0オリジンで \(j\) 番目の要素が1でその他の要素がゼロの…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(3)

今回は「演繹的な方法」を勉強します。 前記事までは \(A\) を天下り的に与えられましたが、これをもう少し演繹的に求めようということです。 とりあえず (\(c_{1}\) は数)という形にすることを考えます。 普通に考えると2通りあるのですが、ここでは として つまり、 で \(c_…
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ハイゼンベルク形式による調和振動子(1)

「ハイゼンベルク形式による量子力学」という本を持っているのですが、その「調和単振動子」の章を勉強してみます。 この本の表現なんですが、演算子にハット(\(\hat{\;}\)) を付けてないので分りづらいのと、複素共役の意味での (*) をエルミート共役の意味でも使っています。気が付いたところでは (\(\dagger\) ) に…
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