ハイゼンベルク形式による調和振動子(7)

今回は調和振動子の応用についての問題を解きます。

[問題]------------------------
もし二次元の振動子のエネルギーが


の形をしていれば、このエネルギーは



を代入することによって、正規の形式に帰着することを示せ。ただし、 \(c_{1}>0\) および \(c_{1}c_{2}>c^{2}\) であり、 \(\tan 2\theta = 2c/(c_{2}-c_{1})\) である。そしてエネルギー準位を決定せよ。
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なので、


ですが、左辺は


右辺は


なので、




つまり


ここで、\(c_{1}=c_{2}=1\) なら、


なので、


さらに


であり、\(2q_{a}q_{b}\) の係数を計算すると、


つまり、


です。ここから



とすれば、ハミルトニアンは


となります。ここで、


とおくと、


なので、エネルギー準位は



-----------------------------------------
\(A>0,\;B>0\) の証明と、ハミルトニアンからエネルギー準位を導出する過程を端折りました。。






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