ハイゼンベルク形式による調和振動子(6)

今回は調和振動子の応用について勉強しますが、まず準備段階というところです。

今後、具体例として (i)原子の振動 (ii)輻射 について考えることになるのですが、まずその準備です。
これまでの理論を、数個あるいは多数の自由度を持つ振動子に拡張することは容易です。
エネルギーは


の形に帰着します。もし


と書くと


となり、各 \(H_{r}\) は互いに交換します。したがって、これらは同時固有値と同時固有ベクトルを持ち、そのエネルギー準位は


で、\(j_{r}\) は \(r\) 番目(0オリジン)の正規モードに付随した量子数です。
ゼロ点エネルギーは


となります。

[引用]------------------------
種々の演算子を表す行列をつくるにさいして、\(A_{r}A_{r}^{\dagger }-A_{r}^{\dagger }A_{r}=1\)、 および \(r\neq s\) については \(A_{r}A_{s}= A_{s}A_{r}\) と \(A_{r}A_{s}^{\dagger }= A_{s}^{\dagger }A_{r}\) を満足するような、一組の演算子 \(A_{r}\) とそれらのエルミート共役を表示する問題に、しばしば直面する。この問題は




などと書き表すことによって最も容易に解決される。
ただし、\(\times\) は直積を意味する。行列要素は、たとえば


と表す。ただし、\(A_{kl}\) はすでに得られている単独の行列 \(A\) の行列要素である。
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