ハイゼンベルク形式による調和振動子(4)

今回は問題を解きます。

[問題]----------------------------------
(a) \(c\) を任意の数とするとき、\(\psi _{k}= c^{k}(k!)^{-1/2}e^{-c^{2}}\) を成分とするベクトル \(\psi\) は、\(A\) の固有ベクトルであることを示し、そして、対応する固有値をみつけよ。
(b) \(f(n)\) を整数 \(n\) に対して定義された関数とするとき
  \(Af(N)=f(N+1)A\) および \(A^{\dagger }f(N)=f(N-1)A^{\dagger }\)  
であることを示せ。
---------------------------------------

(a)

なので、


よって、固有値は \(\alpha c\) です。

(b)

から


つまり、


ここに左から \((N+1)^{-n}\) 、右から \(N^{-n}\) を掛けると


つまり、


なので、


となります。

同様に


から、


なので、


となります。

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