The Large Scale Structure of Space-time - The role of gravity の図に関連する部分を訳す(2)

The Large Scale Structure of Space-timeの"1.The role of gravity"を眺めているんですが、FIGURE 2 に関する部分の文章を備忘録として訳しておきます。


To see the significance of these focal points, consider a one-dimensional surface \(\mathcal{P}\) in two-dimensional Euclidean space (figure 2). Let \(p\) be a point not on \(\mathcal{P}\) .
Then there will be some curve from \(\mathcal{P}\) to \(p\) which is shorter than, or as short as, any other curve from \(\mathcal{P}\) to \(p\).Clearly this curve will be a geodesic, i.e. a straight line, and will intersect \(\mathcal{P}\) orthogonally. In the situation shown in figure 2, there are in fact three geodesics orthogonal to \(\mathcal{P}\) which pass through \(p\). The geodesic through the point \(r\) is clearly not the shortest curve from \(\mathcal{P}\) to \(p\). One way of recognizing this (Milnor (1963)) is to notice that the neighbouring geodesics orthogonal to \(\mathcal{P}\) through \(u\) and \(v\) intersect the geodesic through \(r\) at a focal point \(q\) between \(\mathcal{P}\) and \(p\). Then joining the segment \(uq\) to the segment \(qp\), one could obtain a curve from \(\mathcal{P}\) to \(p\) which had the same length as a straight line \(rp\) However as \(uqp\) is not a straight line, one could round off the corner at \(q\) to obtain a curve from \(\mathcal{P}\) to \(p\) which was shorter than \(rp\). This shows that \(rp\). is not the shortest curve from \(\mathcal{P}\) to \(p\). In fact the shortest curve will be either \(xp\) or \(yp\).

これらの焦点の重要性を確認するために、2次元のユークリッド空間における1次元の表面 \(\mathcal{P}\) を考えてみましょう(図2)。\(p\) を \(\mathcal{P}\) 上ではない点とします。次に、 \(\mathcal{P}\) から \(p\) への他の曲線よりも短い、または同じくらい短い \(\mathcal{P}\) から \(p\) への曲線があります。明らかに、この曲線は測地線、つまり直線になり、 \(\mathcal{P}\) と直交します。図2に示す状況では、実際には、\(p\) を通過する \(\mathcal{P}\) に直交する3つの測地線があります。点 \(r\) を通る測地線は、明らかにPから \(p\) への最短曲線ではありません。これを認識する1つの方法(Milnor(1963))は、\(u\) と \(v\) を介して \(\mathcal{P}\) に直交する隣接する測地線が、 \(\mathcal{P}\) と \(p\) の間の焦点 \(q\) で \(r\) を介して測地線と交差することに注意することです。
次に、セグメント \(uq\) をセグメント \(qp\) に結合すると、直線 \(rp\) と同じ長さの \(P\) から \(p\) までの曲線を得ることができます。ただし、\(uqp\) は直線ではないため、\(q\) の角を丸めて、\(rp\) よりも短い \(\mathcal{P}\) から\(p\) への曲線を得ることができます。これは、\(rp\) が \(\mathcal{P}\) から\(p\) への最短曲線ではないことを示しています。実際、最短の曲線は\(xp\) または\(yp\) のいずれかになります。

role_of_gravity_02.jpg

-------------------------
FIGURE 2.
The line \(pr\) cannot be the shortest line from \(p\) to P, because there is a focal point \(q\) between \(p\) and \(r\). In fact either \(px\) or \(py\) will be the shortest line from \(p\) to \(\mathcal{P}\) .

図2。
\(p\) と \(r\) の間に焦点 \(q\) があるため、線 \(pr\) を \(p\) から \(\mathcal{P}\) への最短線にすることはできません。 実際、\(px\) または \(py\) のいずれかが \(p\) から \(\mathcal{P}\) への最短行になります。
-------------------------

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!

ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。

→ログインへ

なるほど(納得、参考になった、ヘー)
驚いた
面白い
ナイス
ガッツ(がんばれ!)
かわいい

気持玉数 : 0

この記事へのコメント