## The Large Scale Structure of Space-time － The role of gravity の図に関連する部分を訳す（２）

The Large Scale Structure of Space-timeの"1.The role of gravity"を眺めているんですが、FIGURE 2 に関する部分の文章を備忘録として訳しておきます。

To see the significance of these focal points, consider a one-dimensional surface $$\mathcal{P}$$ in two-dimensional Euclidean space (figure 2). Let $$p$$ be a point not on $$\mathcal{P}$$ .
Then there will be some curve from $$\mathcal{P}$$ to $$p$$ which is shorter than, or as short as, any other curve from $$\mathcal{P}$$ to $$p$$.Clearly this curve will be a geodesic, i.e. a straight line, and will intersect $$\mathcal{P}$$ orthogonally. In the situation shown in figure 2, there are in fact three geodesics orthogonal to $$\mathcal{P}$$ which pass through $$p$$. The geodesic through the point $$r$$ is clearly not the shortest curve from $$\mathcal{P}$$ to $$p$$. One way of recognizing this (Milnor (1963)) is to notice that the neighbouring geodesics orthogonal to $$\mathcal{P}$$ through $$u$$ and $$v$$ intersect the geodesic through $$r$$ at a focal point $$q$$ between $$\mathcal{P}$$ and $$p$$. Then joining the segment $$uq$$ to the segment $$qp$$, one could obtain a curve from $$\mathcal{P}$$ to $$p$$ which had the same length as a straight line $$rp$$ However as $$uqp$$ is not a straight line, one could round off the corner at $$q$$ to obtain a curve from $$\mathcal{P}$$ to $$p$$ which was shorter than $$rp$$. This shows that $$rp$$. is not the shortest curve from $$\mathcal{P}$$ to $$p$$. In fact the shortest curve will be either $$xp$$ or $$yp$$.

これらの焦点の重要性を確認するために、2次元のユークリッド空間における1次元の表面 $$\mathcal{P}$$ を考えてみましょう（図2）。$$p$$ を $$\mathcal{P}$$ 上ではない点とします。次に、 $$\mathcal{P}$$ から $$p$$ への他の曲線よりも短い、または同じくらい短い $$\mathcal{P}$$ から $$p$$ への曲線があります。明らかに、この曲線は測地線、つまり直線になり、 $$\mathcal{P}$$ と直交します。図2に示す状況では、実際には、$$p$$ を通過する $$\mathcal{P}$$ に直交する3つの測地線があります。点 $$r$$ を通る測地線は、明らかにPから $$p$$ への最短曲線ではありません。これを認識する1つの方法（Milnor（1963））は、$$u$$ と $$v$$ を介して $$\mathcal{P}$$ に直交する隣接する測地線が、 $$\mathcal{P}$$ と $$p$$ の間の焦点 $$q$$ で $$r$$ を介して測地線と交差することに注意することです。

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FIGURE 2.
The line $$pr$$ cannot be the shortest line from $$p$$ to P, because there is a focal point $$q$$ between $$p$$ and $$r$$. In fact either $$px$$ or $$py$$ will be the shortest line from $$p$$ to $$\mathcal{P}$$ .

$$p$$ と $$r$$ の間に焦点 $$q$$ があるため、線 $$pr$$ を $$p$$ から $$\mathcal{P}$$ への最短線にすることはできません。 実際、$$px$$ または $$py$$ のいずれかが $$p$$ から $$\mathcal{P}$$ への最短行になります。
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