「『量子化』について」を再掲: T

2021年02月02日

「『量子化』について」を再掲

『量子化』についてを再掲します。

いま $(q,p,t)$ の関数 $f(q,p,t)$ を考えます。この時間微分は

$\begin{align*} \frac{df}{dt}&= \frac{\partial f}{\partial q}\frac{dq}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dt}+\frac{\partial f}{\partial t}\frac{dt}{dt}\\ &= \frac{\partial f}{\partial q}\frac{dq}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dt}+\frac{\partial f}{\partial t} \end{align*}$
となるのですが、正準方程式　$dq/dt=\partial H/\partial p\; ;\; dp/dt=-\partial H/\partial q$ を使うと、

$\frac{df}{dt}= \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}+\frac{\partial f}{\partial t}$
となります。これをポアソンの括弧を使って、

$\frac{df}{dt}= [f,H]+\frac{\partial f}{\partial t}$
と書いてしまいましょうということです。
ポアソンの括弧の定義としては、

$[f(q,p),g(q,p)]= \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}$
ということですね。

[例１]

$H= \frac{p^{2}}{2m}+U(q)$
（１） $f(q,p,t)=q$ とすると、

$\begin{align*} [q,H]&= \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial q}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}\\ &=\frac{\partial H}{\partial p}= \frac{p}{m} \end{align*}$
$\frac{\partial q}{\partial t}= 0$
から

$\dot{q}= \frac{p}{m}\; \to\; p= m\dot{q}$ 　　
（２） $f(q,p,t)=p$ とすると、

$\begin{align*} [p,H]&= \frac{\partial p}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial p}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}\\ &=-\frac{\partial H}{\partial q}= -\frac{\partial U(q)}{\partial q} \end{align*}$
$\frac{\partial p}{\partial t}= 0$
から

$\dot{p}= -\frac{\partial U(q)}{\partial q}\; \to\; m\ddot{q}= -\frac{\partial U(q)}{\partial q}$

[例２]

（１）　$f=q\;,\;g=p$ とすると

$[q,p]= \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial p}{\partial p}- \frac{\partial q}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial q }= \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial p}{\partial p}=1$
（２）　$f=q\;,\;g=q$ とすると

$[q,q]= \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial p}- \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial p}{\partial q }= 0$ 　
（３）　$f=p\;,\;g=p$ とすると

$[p,p]= \frac{\partial p}{\partial q}\frac{\partial p}{\partial p}- \frac{\partial p}{\partial q}\frac{\partial p}{\partial q }= 0$
多くの自由度のある場合には、一般に

$[q_{i},p_{j}]= \delta _{ij}\; ,\; [q_{i},q_{j}]=[p_{i},p_{j}]=0$
となります。これらが、古典力学から量子論へいくときの基本的関係となります。

では、この準備からいよいよ「量子化」の話題に入っていきます。

「量子化する」＝「古典的な量 $q_{i}$ や $p_{i}$ を演算子として解釈する」

であり、このとき演算子の満たす規則を
　
$[f,g]\; \to\; \frac{1}{i\hbar}[f,g]= \frac{1}{i\hbar}(fg-gf)$
と置き換えます。例えば、上で求めた関係 $[q_{i},p_{j}]=\delta _{ij}$ は

$[q_{i},p_{j}]= \delta _{ij}\; \to\; [q_{i},p_{j}]\equiv q_{i}p_{j}-p_{j}q_{i}=i\hbar \delta _{ij}$
とします。

$p_{i}= -\hbar \frac{\partial }{\partial q_{i}}$
とおくと、

$\begin{align*} [q_{i},p_{j}]\psi &= (q_{i}p_{j}-p_{j}q_{i})\psi \\ &= \left ( -i\hbar q_{i} \frac{\partial \psi }{\partial q_{j}}+i\hbar \frac{\partial }{\partial q_{j}}(q_{i} \psi )\right )\\ &= i\hbar\left ( - q_{i} \frac{\partial \psi }{\partial q_{j}}+ \frac{\partial }{\partial q_{j}}(q_{i} \psi )\right )\\ &= i\hbar\left ( - q_{i} \frac{\partial \psi }{\partial q_{j}}+\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}} \psi +q_{i}\frac{\partial \psi }{\partial x}\right )\\ &=i\hbar\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}} \psi= i\hbar \delta _{ij}\psi \end{align*}$
となり、物理的意味が具体的になります。