今年は大変だったな。。

大晦日ですが、今年は1月に武漢からの日本人帰還・クルーズ船から始まって、 12月になっても第3波が収まりません。 GoTo の延期などの政治決定が遅れていて、重症者が増加し、医療体制は崩壊しそうです。 確実なワクチン接種ができるまで、我々一般人のできることは、注意して罹患しないこと、もし罹患したら直ちに公的機関に連絡して対処方法を…
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熱力学(4-8)

「クラペイロンの式」に入ります。 ここでは前記事で求めた を、飽和蒸気(液体とその蒸気が平衡にある系)に適用します。 この系での \((V,p)\) 表示の等温線を得る方法:  温度は一定に保ったまま、ピストンを持ち上げ蒸気の体積を増加させる。  → 結果として、蒸気圧を不変に保つため、液体の一部が蒸発。 …
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熱力学(4-7)

「状態が (V,p) 図に表される系のエントロピー」を続けます。 前記事の内容の考察例として1モルの理想気体に対する \(dQ\) および \(dS\) の表式を考えます。 状態方程式 \(pV=RT\) → \(p=RT/V\) なので、 であり なので、この表式は完全微分ではないことになります…
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「地平線問題の論文を読んでみる(2)」の補足_その2

まず、The Horizon Problemの "2. The standard model of cosmology"の(4)、(5)、(7)式から(8)式を導出することを考えます。 該当の式をちょっと変えて再掲します。 (5)式とハッブル定数の定義式を(4)に代入すると から となりま…
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熱力学(4-6)

「状態が (V,p) 図に表される系のエントロピー」に入ります。 この場合、状態は三変数 \(p,V,T\) のうちの任意の二つにより定義されます。\(T,V\) が \(dT,dV\) だけ変わるような無限小変換において、系が受け取る熱 \(dQ\) は なので となり、 と解釈できます。 ところ…
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「地平線問題の論文を読んでみる(2)」の補足_その1

The Horizon Problemの "2. The standard model of cosmology"の(2)式と(3)式から(4)式を導出します。 (2)、(3)、(4)式を再掲します。 この他のハッブル定数の定義 なので時間で微分すると となるので、この右辺に(2)、(3)式を…
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熱力学(4-5)

「エントロピーの性質」を続けます。 「孤立系のエントロピーが減少しない」ということを統計的見地から考えます。 「ボルツマンは、熱力学的な系のエントロピーは、その状態の確率と簡単な関係により結ばれていることを証明した。」 \(\pi\) : 力学的状態個数。熱力学的状態の確率(確率に比例する数)。 仮定 : 孤立系…
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"War Is Over" と "Pledging My Love"

来週はクリスマスなので、この時期には John Lennon & Ono Yoko の "Happy Christmas War Is Over" を聴く機会が多くなるんですが、ちょっと似た曲を紹介したいと思います。まず "Happy Christmas War Is Over" から  John Lennon - Happy …
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熱力学(4-4)

「エントロピーの性質」に入ります。 系の二つの状態 \(A,B\) を考え、積分が可逆過程の上にとるものとすると、 ですが、積分を不可逆過程の上にとるものとすると、この式は成立せず となります。これを証明します。 系をある不可逆過程 \(I\) に沿って \(A\) から \(B\) までもっていき、次に…
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熱力学(4-3)

「エントロピー」を続けます。 ある無限小過程を考えて、その間にエントロピーは \(dS\) だけ変わり、系は熱量 \(dQ\) を温度 \(T\) で受け取るとすれば 数個部分に分かれている系があるとして、系のエネルギーが各部分のエネルギーの和に等しく、かつ系が過程の間に行う仕事の各部分が行う仕事の和に等しい場合、「系…
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熱力学(4-2)

「エントロピー」を続けます。 \(A,B\) : 二つの平衡状態 \(S(A),S(B)\) : これらに状態のエントロピー そうすると、   が成立します。積分は状態 \(A\) から状態 \(B\) までの可逆過程についてとるものとします。 この証明をします。 基準状態を \(O\) を考えて   …
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また積分問題 2020_12_13

[問題]-------------------------------- 定積分   を計算しなさい。 ------------------------------------- 被積分関数を部分分数の和に変換したいのですが、分母を整数係数・有理数係数の範囲で因数分解すると   なので、   となり …
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Henry 氏の最新ミニアルバムから

3枚目のミニアルバム "JOURNEY" が発売されて、その中の2曲のMVが公開されているのでリンクを貼っておきます。 韓国でデビューしたのですが、中国系カナダ人なので、英米ポップの影響が強く、ピアノとヴァイオリンの才能を活かして、BTS などの KPOP とは一味違ったメロディアスな作品を提供しています。かなりいいですよ。 H…
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「速習一般相対論_(4)」再掲

「速習一般相対論_(4)」を再掲します。 このシリーズも今回で終わりです。つまりアインシュタイン方程式までということですね。 [ポアッソンの方程式] ニュートン力学では、物質の質量分布 \(\rho\) によって、それの作る重力ポテンシャル \(\phi\) は の解として与えられます。 [重力場方程式への試行…
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熱力学(4-1)

「エントロピー」を定義します。 前記事の最後の式   つまり可逆サイクルを、別の形で述べることができます。 \(A,B\) : 系 \(S\) の二つの平衡状態 系を始め状態 \(A\) から終わり状態 \(B\) までもっていく可逆過程を考えます。 図には3本の曲線が描かれていますが、同様な可逆過程は多数存在し…
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「速習一般相対論_(3)」再掲

「速習一般相対論_(3)」を再掲します。 ここから所謂時空の曲がりの幾何学を考えましょう。 普通だと「ベクトルの平行移動」→「共変微分」→「リーマン曲率テンソル」というストーリーとなります。 ほぼ同じストーリーですが、少し近道をします。 [ベクトルの平行移動] ベクトルを測地線に沿って「平行移動」することを考えます。具…
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熱力学(3-8)

エントロピーの話題に入ります。まずは「サイクルの性質」です。 系 \(S\) が、ある循環過程を行うとします。 サイクルの間に、系は \(T_{1},T_{2},\cdots,T_{n},\) を持つ \(n\) の熱源と熱の受け渡しを行うこととします。さらに、系と熱源の間で交換される熱量を、それぞれ \(Q_{1},Q_{2}…
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「速習一般相対論_(2)」再掲 

「速習一般相対論_(2)」を再掲します。 「測地線の方程式」が分かるとそれだけである程度の議論が出来ます。 いわゆる「ニュートン近似」も曲率テンソルやその前提となる共変微分の知識が無くても説明できます。 その前に、クリストッフェル記号には次のような表現があることを付け加えておきます。 [遅い粒子の弱い重力場における運…
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微分方程式を愚直にラプラス変換で解く

簡単な微分方程式を敢えてラプラス変換を使って解くとかえって面倒なことを示します。 ---------------------------   を、初期条件   のもとで解け。 --------------------------- 該当微分方程式の右辺は定数と t のみ関数の和なので、積分を2回実施して、初期条件か…
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When We Disco

TWICE や NiziU のプロデュースでお馴染みの J.Y. Park さんの曲ですが、ハウスビートのトロットというかなんか懐かしい感じです。 박진영 (J.Y. Park) "When We Disco (Duet with 선미)" M/V で、日本人の私としてはこの曲を連想してしまいます。 もんた&ブラザ…
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熱力学(3-7)

熱力学的絶対温度を続けます。 前記事の   において、温度 \(t_{0}\) は任意なので、すべての式においてこれを一定に保つことができます。→ \(f(t_{0},t)\) を \(t\) のみの関数と考えることができます。ここで、\(K\) を任意定数として   とすれば   ここで、\(t\) の…
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「エレベータ落下_ニュートン近似」を再掲

「エレベータ落下_ニュートン近似」を書き直し再掲します。 \(P\) のところに吊るしてあるエレベータの綱をちょん切って、 \(P\) から \(h\) だけ下にある \(Q\) を通過している状態を考えてみます。 このときの速度 \(v\) は、自由落下なので \(v^{2}=2gh\) となります。 さて、\…
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熱力学(3-6)

熱力学的絶対温度を続けます。 前記事で導入した関数 \(f(t_{1},t_{ 2})\) には次の性質があります。 --------------------------------------------------------------------   ただし、\(t_{0},t_{1},t_{2}\) は三つの任意…
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