「島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を再掲: T

2021年01月10日

「島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を再掲

「島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を再掲したいと思います。

ネットをググっていたら掲題の（望月准教授の研究室のページからいただいた）レポート問題に当りました。
物理的意味は別にして、これを解くには微分方程式の初歩の知識(変数分離)があれば十分なので、閑話休題というところで、やってみたいと思います。

物理学の世界　レポート問題

[問題１]

３つある $\rho_{r},\rho_{m},\rho_{v}$ という定数の内、２つがゼロの場合を考えれば良い。

(1) $\rho_{m},\rho_{v}=0$ の場合

$\frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}= \frac{\rho _{r}}{a^{4}}\to \frac{da}{dt}= \frac{\rho _{r}^{1/2}}{a}\to ada= \rho _{r}^{1/2}dt$
$\therefore \; a(t)\propto t^{1/2}$
輻射優勢期　相対論的物質の密度が支配的

(2) $\rho_{r},\rho_{v}=0$ の場合

$\frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}= \frac{\rho _{m}}{a^{3}}\to \frac{da}{dt}= \frac{\rho _{m}^{1/2}}{a^{1/2}}\to a^{1/2}da= \rho _{m}^{1/2}dt$
$\therefore \; a(t)\propto t^{2/3}$
物質優勢期　非相対論的物質の密度が支配的

(3) $\rho_{r},\rho_{m}=0$ の場合

$\frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}= \rho _{v}\to \frac{da}{dt}=\rho _{v}^{1/2}a\to \frac{da}{a}= \rho _{v}^{1/2}dt$
$\therefore \; a(t)\propto \exp (\rho _{v}^{1/2}t)$
宇宙項優勢期　宇宙項が支配的

[問題２]

ここは少し丁寧にやっていきます。該当の方程式は $\alpha \equiv \frac{\hbar c^{4}}{G^{2}}$ とおくと

$\frac{dM}{dt}= -\frac{\alpha }{M^{2}}$
と簡単になります。ここで、後のことを考えて $\alpha$ を計算しておきましょう。

$\begin{align*} \alpha &= \frac{\hbar c^{4}}{G^{2}}\\ &= \frac{1.0\times 10^{-34}[\mathrm{kgm^{2}s^{-1}}]\cdot (3.0\times 10^{8})^{4}[\mathrm{m^{4}s^{-4}}]}{(6.7\times 10^{-11})^{2}[\mathrm{kg^{-2}m^{6}s^{-4}}]}\\ &=1.8 \times 10^{20}[\mathrm{kg^{3}s^{-1}}] \end{align*}$
１．$M(t)$ を求める

$\frac{dM}{dt}= -\frac{\alpha }{M^{2}}\; \to\; M^{2}dM= -\alpha t$
となるので、積分できて

$\frac{ M^{3}}{3}= -\alpha t+C\; \to\; M^{3}= {C}'-3\alpha t$
ここで、${C}'=3C$ ですが、$t=0$ のときブラックホールの質量を $M_{0}$ とすると、${C}'= M_{0}^{3}$ となるため

$M(t)= \left ( M_{0}^{3}-3\alpha t \right )^{1/3}$
となります。（３乗根を解く場合はマイナスもありますが、質量なのでプラスをとるのが自然であり、時間発展によって減衰することに注意）

2. 太陽質量のブラックホールが蒸発するのにどの位の時間が必要か

$M(t)= \left ( M_{sun}^{3}-3\alpha t \right )^{1/3}$
の右辺がゼロになる時間を求めれば良いことでしょう。つまり、

$\begin{align*} t&= \frac{M_{sun}^{3}}{3\alpha }\\ &= \frac{(10^{30})^{3}[\mathrm{kg^{3}}]}{3\times 1.8\times 10^{20}[\mathrm{kg^{3}s^{-1}}]}\\ &= \frac{10}{3\times 1.8}\times 10^{69}[\mathrm{s}]= 1.9\times 10^{69}[\mathrm{s}] \end{align*}$
ということになります。ところで、

$\begin{align*} 1[\mathrm{yr}]&=365[\mathrm{days}]\\ &= 8760[\mathrm{hours}]\\ &= 5.256\times 10^{5}[\mathrm{min}]\\ &= 3.1536\times 10^{7}[\mathrm{s}] \end{align*}$
から

$t= 0.6\times 10^{62}[\mathrm{yrs}]$
wikipedia （宇宙の終焉）の記述では「太陽質量程度のブラックホールの蒸発時間は約 $10^{67}$ 年」となっています。
この違いは「Hawking輻射に伴うブラックホールの質量の減少率 」を次元解析で求めているため、係数が無視されていることと、太陽質量を実際の半分程度としているからだと考えられます。