「島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を再掲

島根大_物質科学科物理系のレポート問題をやってみる」を再掲したいと思います。

ネットをググっていたら掲題の(望月准教授の研究室のページからいただいた)レポート問題に当りました。
物理的意味は別にして、これを解くには微分方程式の初歩の知識(変数分離)があれば十分なので、閑話休題というところで、やってみたいと思います。

物理学の世界 レポート問題

[問題1]

3つある \(\rho_{r},\rho_{m},\rho_{v}\) という定数の内、2つがゼロの場合を考えれば良い。

(1) \(\rho_{m},\rho_{v}=0\) の場合



輻射優勢期 相対論的物質の密度が支配的

(2) \(\rho_{r},\rho_{v}=0\) の場合



物質優勢期 非相対論的物質の密度が支配的

(3) \(\rho_{r},\rho_{m}=0\) の場合



宇宙項優勢期 宇宙項が支配的

[問題2]

ここは少し丁寧にやっていきます。該当の方程式は \(\alpha \equiv \frac{\hbar c^{4}}{G^{2}}\) とおくと


と簡単になります。ここで、後のことを考えて \(\alpha\) を計算しておきましょう。


1.\(M(t)\) を求める


となるので、積分できて


ここで、\({C}'=3C\) ですが、\(t=0\) のときブラックホールの質量を \(M_{0}\) とすると、\({C}'= M_{0}^{3}\) となるため


となります。(3乗根を解く場合はマイナスもありますが、質量なのでプラスをとるのが自然であり、時間発展によって減衰することに注意)


2. 太陽質量のブラックホールが蒸発するのにどの位の時間が必要か


の右辺がゼロになる時間を求めれば良いことでしょう。つまり、


ということになります。ところで、


から


wikipedia (宇宙の終焉)の記述では「太陽質量程度のブラックホールの蒸発時間は約 \(10^{67}\) 年」となっています。
この違いは「Hawking輻射に伴うブラックホールの質量の減少率 」を次元解析で求めているため、係数が無視されていることと、太陽質量を実際の半分程度としているからだと考えられます。

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