BHとポテンシャル_続・相対論の正しい間違え方を読むために（１）: T

2020年11月19日

BHとポテンシャル_続・相対論の正しい間違え方を読むために（１）

今回は「続・相対論の正しい間違え方」の P71で扱っている式 (7.8) について考えてみます。

[該当の式 (7.8) ]--------------------------------

　 $\psi _{\textup{GR}}= -c^{2}\ln \sqrt{\frac{r}{r-r_{g}}-\frac{h^{2}}{c^{2}r^{2}}}$
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この式の導出を考える前に、前記事で求めた

　 $\psi _{N}=-\frac{GM}{r}+\frac{h^{2}}{2r^{2}}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (7.7)$ 　
との関係を考えます。変形すると、

　 $\begin{align*} \psi _{N}&=-\frac{c^{2}}{2r}\cdot \frac{2GM}{c^{2}}+\frac{h^{2}}{2r^{2}}\\ &=-\frac{c^{2}r_{g}}{2r}+\frac{h^{2}}{2r^{2}}\\ &= -\frac{c^{2}}{2}\left ( \frac{r_{g}}{r}-\frac{h^{2}}{c^{2}r^{2}} \right ) \end{align*}$
いっぽう、 (7.8) 式から

　 $\begin{align*} \psi _{\textup{GR}}&=-\frac{c^{2}}{2}\ln \left (\frac{r}{r-r_{g}} -\frac{h^{2}}{c^{2}r^{2}} \right )\\ &=-\frac{c^{2}}{2}\ln \left (1+\frac{r_{g}}{r-r_{g}} -\frac{h^{2}}{c^{2}r^{2}} \right )\\ &\approx -\frac{c^{2}}{2}\ln\left \{ 1+\left ( \frac{r_{g}}{r} -\frac{h^{2}}{c^{2}r^{2}}\right ) \right \} \end{align*}$
となります。ここで、近似式　 $\ln (1+x)\approx x$ 　を用いると、

　 $\psi _{\textup{GR}}\approx -\frac{c^{2}}{2}\left ( \frac{r_{g}}{r} -\frac{h^{2}}{c^{2}r^{2}}\right )$
となって近似的に $\psi _{N}$ に等しいことが分かりました。