熱力学（３-４）: T_NAKAの阿房ブログ

2020年11月24日

熱力学（３-４）

熱力学的絶対温度を続けます。

低温 $t_{1}$ と高温 $t_{2}$ で働く第二の熱機関を考える。
${L}'$ ：この熱機関が１サイクルで行う仕事
${Q}'_{2}$ ：サイクルごとに温度 $t_{2}$ で吸収する熱量
${Q}'_{1}$ ：サイクルごとに温度 $t_{1}$ で放出する熱量　
[基本定理]-----------------------
a. 第一の熱機関が可逆ならば

　 $\frac{Q_{2}}{Q_{1}}\geq \frac{{Q}'_{2}}{{Q}'_{1}}$
b. 第二の熱機関もまた可逆ならば

　 $\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{{Q}'_{2}}{{Q}'_{1}}$
--------------------------------
この定理の意味するところを考えます。
「a. 第一の熱機関が可逆ならば」ということは、「第二の熱機関は可逆である」必要はないということで、「吸収する熱量/放出する熱量」という数値はその熱機関が可逆ならば一番大きいという意味で、「b. 第二の熱機関もまた可逆ならば」同じになるということでしょう。

以下に証明を考えます。
サイクルに対する第一法則から

　 $L=Q_{2}-Q_{1}\; ;\; {L}'={Q}'_{2}-{Q}'_{1}$

以下に証明を考えます。
サイクルに対する第一法則から

　 $L=Q_{2}-Q_{1}\; ;\; {L}'={Q}'_{2}-{Q}'_{1}$
また比 $\frac{Q_{2}}{{Q}'_{2}}$ は、有理数によっていくらでも望む精度まで近似することが可能。
$N,{N}'$ を正の整数として、

　 $\frac{Q_{2}}{{Q}'_{2}}= \frac{{N}'}{N}$
とすることができる。
第一の熱機関（可逆）を逆向きに $N$ サイクル行う
　逆向き１サイクルの間に仕事 $L$ を吸収し、熱源 $t_{2}$ に熱量 $Q_{2}$ を渡し、熱源 $t_{1}$ から熱量 $Q_{1}$ を吸収する
第二の熱機関を ${N}'$ サイクル行う

この複合過程の間に二つの熱機関が行う仕事の総量は

　 $L_{\textup{total}}= {N}'{L}'-NL$
熱源 $t_{2}$ から吸収する総熱量は

　 $Q_{2,\textup{total}}= {N}'{Q_{2}}'-NQ_{2}$
熱源 $t_{1}$ から吸収する総熱量は

　 $Q_{1,\textup{total}}= {N}'{Q_{1}}'-NQ_{1}$
から

　 $\begin{align*} L_{\textup{total}}&= {N}'{L}'-NL\\ &= {N}'({Q_{2}}'-{Q_{1}}')-N(Q_{2}-Q_{1})\\ &=({N}'{Q_{2}}'-NQ_{2})-({N}'{Q_{1}}'-NQ_{1})\\ &=Q_{2,\textup{total}}-Q_{1,\textup{total}} \end{align*}$
ここで、

　 $\frac{Q_{2}}{{Q}'_{2}}= \frac{{N}'}{N}\; \to\; {N}'{Q_{2}}'= NQ_{2}\; \to\; Q_{2,\textup{total}}=0$
つまり、過程全体では高温 $t_{2}$ において熱交換は起こらないということで、この関係から

　 $L_{\textup{total}}= -Q_{1,\textup{total}}$
となり、これは熱源 $t_{1}$ から吸収した熱量（$-Q_{1}$）が仕事 $L_{\mathrm{total}}$ に変換されていることを示しています。過程全体は二つの熱機関の何サイクルかでできているので、過程が完了したときには、両方の熱機関は始めの状態に戻っています。→ $L_{\mathrm{total}}$ は正ではありえないことになります。もし正ならば、全過程終了後の結果が、全体が温度 $t_{1}$ にある一つの熱源から熱量 $ -Q_{1,\mathrm{total}}$ を吸収し、これを仕事 $L_{\mathrm{total}}$ に変換したことになりケルヴィンの原理に反することになり、

　 $L_{\textup{total}}\leq 0$
でなければなりません。つまり、

　 $Q_{1,\textup{total}}={N}'{Q_{1}}'-NQ_{1}\geq 0\;\to \; {N}'{Q_{1}}'\geq NQ_{1}$
であり、${N}'=(Q_{2}/{Q_{2}}')N$ から

　 $\left ( \frac{Q_{2}}{{Q_{2}}'} \right )N{Q_{1}}'\geq NQ_{1}\;\to \; Q_{2}{Q_{1}}'\geq {Q_{2}}'Q_{1}$
つまり、

　 $\frac{Q_{2}}{Q_{1}}\geq \frac{{Q_{2}}'}{{Q_{1}}'}$
とa のケースが証明されました。
b のケースは第二の熱機関が可逆ならば、上式と同時に

　 $\frac{{Q_{2}}'}{{Q_{1}}'}\geq \frac{Q_{2}}{Q_{1}}$
が成立するため、等号（＝）が成立することになります。