BHと光速度_続・相対論の正しい間違え方を読むために(1)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」の P60~64 辺りで扱っている数式について考えてみます。

\(Schwarzschild\) 計量を西海岸方式で書くと

 

BH外側の任意位置の場所に留まっている観測者にとっては、\( r,\theta ,\phi\) はすべて一定なので、その固有時は

 

なので、

 

この時間の進み方から、任意の距離 \(r\) での光速度を \(c_{r}\) とすると

 

つまりBH外側の任意位置の場所に留まっている観測者にとっては \( r\) によって光速度は異なることになります。

ここで、BHの中心から \(r_{a}\) 離れた場所を出発した光が、距離 \(r_{b}\) まで落下する時間 \(t_{a \to b}\) を考えます。このとき光の軌跡は \(ds=0\) であり、一直線に落ちるのならば \(d\theta =0,d\phi =0\) なので

 
  
よって、

 

ここで、

 
  
  
から

 
  
なので

 
この式

 
の右辺第2項が無視できるほど小さな値だと、

 
であって、これは \(Minkowski\) 時空で、重力ポテンシャルが存在しない場合です。つまり 右辺第2項が重力ポテンシャルの影響を示しています。

長くなったので、今日はこの辺で。。

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