LaTeXの練習(4)


今回は③です。

[③]----------------------------------------------

4.定数を想定

式 (14) では左辺 \(=v\) のみの関数、右辺 \(=u\) のみの関数ということになります。これが等号で結ばれているということは、式(14)の示す値が『定数』であることを意味しています。

よってこれを \(K\) で表すと、

\[
\left ( 1- \frac{1}{a^{2}}\right )\frac{1}{v^{2}}=K
\]

ということになります。したがって

\[
1- \frac{1}{a^{2}}=Kv^{2}\to a^{2}= \frac{1}{1-Kv^{2}}
\]

となり、これを解くと、

\[
a=\pm \frac{1}{\sqrt{1-Kv^{2}}}
\]

となりますが、前提であるため式 (3) \({x}'=a(x-vt)\) から \(a<0\) だとすると、変換後に方向が反対になってしまうため、\(a>\) である必要があります。
したがって、

\begin{equation}
a= \frac{1}{\sqrt{1-Kv^{2}}} \tag{15}
\end{equation}
\begin{equation}
1- \frac{1}{a^{2}}=Kv^{2} \tag{16}
\end{equation}

となります。
式 (15) を式 (3) に代入すると、
 
\[
{x}'= \frac{x-vt}{\sqrt{1-Kv^{2}}}
\]

であり、式(15)、(16)を式(4)に代入すると、

\[
{t}' = a\left ( -\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}x+t \right )=a\left \{ \left ( 1-\frac{1}{a^{2}} \right )\frac{x}{v}+t\right \}=\frac{-Kvx+t}{\sqrt{1- Kv^{2}}}
\]

となります。
まとめますと、

\begin{equation}
{x}'= \frac{x-vt}{\sqrt{1-Kv^{2}}} \tag{17}
\end{equation}
\begin{equation}
{t}' =\frac{t-Kvx}{\sqrt{1- Kv^{2}}} \tag{18}
\end{equation}
という変換式が得られました。
また、式 (16) を式 (11) に代入すると、

\[
w=\frac{v+u}{1+\left (1 -\frac{1}{a^{2}} \right )\frac{u}{v} }= \frac{v+u}{1+Kv^{2}\frac{u}{v} }
\]

となり、

\begin{equation}
w= \frac{v+u}{1+Kvu } \tag{19}
\end{equation}

という速度の加法則が導かれます。

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!

ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。

→ログインへ

なるほど(納得、参考になった、ヘー)
驚いた
面白い
ナイス
ガッツ(がんばれ!)
かわいい

気持玉数 : 0

この記事へのコメント