LaTeXの練習(3)


今回は②です。

[②]----------------------------------------------

3.複数の慣性系間の関係

再度、変換式を書いておきましょう。

\(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}'\) 系:
\begin{equation}
{x}'=a(x-vt) \tag{5}
\end{equation}
\begin{equation}
{t}'= a\left ( -\frac{a^{2}-1}{a^{2}v}x+t \right ) \tag{6}
\end{equation}

ここで \({\Sigma}'\) 系対して \(u\) で動いている \({\Sigma}''\) 系 を考えると、これから、類推して、 

\({\Sigma}'\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}''\) 系:
\begin{equation}
{x}''=g({x}'-u{t}') \tag{7}
\end{equation}
\begin{equation}
{t}''= g\left ( -\frac{g^{2}-1}{g^{2}u}{x}'+{t }'\right ) \tag{8}
\end{equation}

さて、 \(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}''\) 系の変換を考えてみましょう。
煩雑なので、空間軸 \(x\) のみ考えます。
これは \(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}'\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}''\) 系 ということなので、式 (7) に式 (5) を順次代入していけば良いと思います。

\(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}''\) 系:
\[
{x}''=
g\left \{ a(x-vt)-ua\left ( -\frac{a^{2}-1}{a^{2}v}x+t \right ) \right \}
=
ga\left \{ (x-vt)-u\left ( -\frac{a^{2}-1}{a^{2}v}x+t \right ) \right \}
\]
\[
=
ga\left ( x-vt+u\frac{a^{2}-1}{a^{2}v}x -ut\right )=
ga\left \{ \left (1+\frac{a^{2}-1}{a^{2}}\: \frac{u}{v} \right )x-(v+u)t \right \}
\]
\[
= ga\left [ \left \{ 1+\left ( 1-\frac{1}{a^{2}} \right )\frac{u}{v} \right \}x- (v+u)t\right ]
\]
\[
= ga\left \{ 1+\left ( 1-\frac{1}{a^{2}} \right )\frac{u}{v} \right \}\left ( x-\frac{v+u}{1+\left ( 1-\frac{1}{a^{2}} \right )\frac{u}{v}}t \right )
\]

これは直接変換 \(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}''\) 系 と同じことになるはずですから、

\begin{equation}
{x}''= A(x-wt) \tag{9}
\end{equation}

とすると、

\begin{equation}
A= ga\left \{ 1+\left ( 1-\frac{1}{a^{2}} \right )\frac{u}{v} \right \} \tag{10}
\end{equation}
\begin{equation}
w=\frac{v+u}{1+\left ( 1-\frac{1}{a^{2}} \right )\frac{u}{v}} \tag{11}
\end{equation}

となるべきです。

ここで、もう一度「変換」について考えますと、 \(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}'\) 系 では、変換のパラメータが相対速度 \(v\) のみと思われます。
これは係数 \(v\) が \(a\) のみの関数ということになります。
同様に、 \({\Sigma}'\) 系 \(\Rightarrow\) \({\Sigma}''\) 系では、変換のパラメータが相対速度 \(u\) のみなので、係数 \(g\) が \(u\) のみの関数ということになります。
さらに、新たに \({\Sigma}'''\) 系という慣性系を考えて、 \({\Sigma}'''\) 系は \(\Sigma\) 系に対し相対速度 \(u\) であり、 \({\Sigma}''\) 系は \({\Sigma}'''\) 系に対し相対速度 \(v\) だとすると、最終的に \({\Sigma}''\) 系は \(\Sigma\) 系に対し相対速度 \(w\) であるということが言えると考えます。

つまり、

\(\Sigma\) 系 \(\leftarrow v\rightarrow {\Sigma }'\) 系 、 \({\Sigma}'\) 系 \(\leftarrow u\rightarrow {\Sigma }''\) 系 、 \(\Sigma\) 系 \(\leftarrow w\rightarrow {\Sigma }''\) 系

ならば、

\(\Sigma\) 系 \(\leftarrow u\rightarrow {\Sigma }'''\) 系 、 \({\Sigma}'''\) 系 \(\leftarrow v\rightarrow {\Sigma }''\) 系 、\(\Sigma\) 系 \(\leftarrow w\rightarrow {\Sigma }''\) 系

であろうということです。


ここで、変換は、

\(\Sigma\) 系 \(\Rightarrow {\Sigma }'''\) 系 :

\[
{x}'''=g(x-ut)\; ,\; {t}'''=g\left ( -\frac{1-g^{2}}{g^{2}u}x+t \right )
\]

\({\Sigma}'''\) 系 \(\Rightarrow {\Sigma }''\) 系 :

\[
{x}'''=a(x-vt)\; ,\; {t}''=a\left ( -\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}{x}'''+{t}''' \right )
\]

となります。


先ほどと同様に直接変換 \(\Sigma\) 系 \((\Rightarrow {\Sigma }''\) 系を求めてみると、\(g\Leftrightarrow a,u\Leftrightarrow v\) とすれば良いわけですから、

\begin{equation}
A= ga\left \{ 1+\left ( 1-\frac{1}{g^{2}} \right )\frac{v}{u} \right \} \tag{12}
\end{equation}
\begin{equation}
w= \frac{v+u}{1+\left ( 1-\frac{1}{g^{2}} \right )\frac{v}{u}} \tag{13}
\end{equation}

となるはずです。
ここで、式 (10) と式 (12) 、式 (11) と式 (13) を比較すると、

\[
\left ( 1- \frac{1}{a^{2}}\right )\frac{u}{v}= \left ( 1- \frac{1}{g^{2}}\right )\frac{v}{u}
\]

となり、変形すると

\begin{equation}
\left ( 1- \frac{1}{a^{2}}\right )\frac{1}{v^{2}}= \left ( 1- \frac{1}{g^{2}}\right )\frac{1}{u^{2}} \tag{14}
\end{equation}

となります。

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