続けます。
上の 関数 の点 における
方向への微係数は
ここから、点 における接ベクトル
と 方向への微分作用素
と同一視する。数式で書くと
特に、 と を同一視する。
これにより
となる
【命題１】----------------------…
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[問題]-----------------------------
最低エネルギー状態（基底状態）を で決めたとき
を定義する。ただし、 は負ではない整数である。
このとき
を導いてみよ。
----------------------------------
この証明はちょっとオカシイ…
「多様体」という本を読んでいますが、表題の項目を備忘録としてまとめておきます。
点 における の接ベクトル（tangent vector） ：
の 点 を始点とする有向線分
点 における の接ベクトル全体 を 点 における の接空間（tangent space） という。
は通常和と実…
１．人生100年時代 未来につながる投資リテラシー
２．人生100年時代 未来につながる不動産リテラシー
どちらも「とりあえず先週修了証を貰ったので（８４）」の「人生100年時代 未来につながるマネーリテラシー」の続編でした。内容はまあ常識の範囲です。特に不動産に関しては一度でも不動産購入した経験があれば分か…
今回は I Believe I'll Dust My Broom をリンクしてみました。
I Believe I'll Dust My Broom by Robert Johnson
エルモア・ジェームスによるカヴァーです。
Elmore James - Dust my broom
ジョニー・ウィンターに…
[問題]-----------------------------
の固有ベクトルと固有値をそれぞれ とするとき
が成り立つことを示せ。
----------------------------------
前問の結果
から、
で、左辺は
なので、
同様に
で…
今回は「続・相対論の正しい間違え方」16ページの式 (2.3) を導出しようした記事です（軽いネタです）。
具体的には、
を前提に、時刻 の固定端から距離 に乗った人のその後の速さは
となるということですが、この本では「式 (2.2) を時間 で積分して変形すればよい」と書いてありますが、ピン…
[問題]-----------------------------
前問の振動子につき
であることを確かめよ。
----------------------------------
から
今回は「続・相対論の正しい間違え方」9ページの図1.2と11ページの図1.3を描くことができるか？を検討します。
具体的には宇宙の時間発展モデル例
を数値計算で解いてみたいと思います。
手法としては簡単なオイラー近似を使いましょう。いまさらですが、オイラー近似では
です。初期値 はゼロだと右辺が発散して…
[問題]-----------------------------
角運動量 の調和振動子のハミルトニアンは
である。交換関係 ()
および定義
を用いて
を示せ。
----------------------------------
…
「複素数への応用」を書き直して再掲します。
複素数というのは と2つの実数 で決まるものです。
であり、演算子 は
なので、２次元ベクトルと見なすことも可能になり、行列表示も可能ということになります。
とすれば、
であり、
…
「続・相対論の正しい間違え方」の目次を見ると「長大宇宙船をロ－レンツ収縮させるには？」というのがあって、まだ読んでないのですが、メル・ブルックスの「スペースボール」という映画の出だしを思い出してしまいました。
御覧になればお分かりですが、これはスターウォーズのパロディになっています。この映画は日本語字幕はないですが、全編 YouT…
ここでは「続・相対論の正しい間違え方」9ページの図1.2のグラフの解説という位置づけです。
これには、まずこの本の２ページにある
に注目します。ここで、
と仮定すると (1.5) 式は
となり、まとめると
であり、この微分方程式をさらに抽象化したものはまさに 「ある微分方程式（１）…
[問題]----------------------------
１次元の振動子のラグランジアンは
で与えられる。
(a) 運動方程式を導き、それを境界条件
のもとに解いてみよ。
(ｂ) この系の "作用" は
となることを示せ。
---------------------------------
…
今回は「地平線問題」に入っていきます。この話題は概念的には分かるんですが、なかなか他人様に説明できるほど分かってないのです。
ここでは「続・相対論の正しい間違え方」9ページの
という式を考えてみます。
まず、現在の宇宙の年齢は138億年なので、138億光年先とは情報交換できません。この本の9ページに書いてある状況：
…
ポアソン括弧
関数 の変分を考える。
[例1]--------------------------------
から、
よって
------------------------------------
[例2]-----------------…
[問題]----------------------------
2次元空間中の粒子にポテンシャル が働いているとき、その運動エネルギーは、
である。
(a) ラグランジアンを作り、運動方程式
となることを示せ。
(ｂ) ハミルトニアン を書き出せ。ハミルトミアンの運動方程式を計算し、(a) と同一の運動…
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--------------------------------------
まず気付くのは、
から、
なので、問題の定積分は
と分割した方が良いでしょう。まず第一積分は
…
Robert_Johnson_discography にあるように、伝説のブルースマン Robert Johnson は生涯に29曲のみレコーディングしていないようです。リンクを張れるものは１曲づつ紹介していきたいと思います。
Robert Johnson - Kindhearted Woman Blues
クラプトンに…
ハミルトニアン
共役運動量：
[例]---------------------------------
から
------------------------------------
ハミルトニアン：
これから
いっぽう
なので、
[例_続…
前記事で一応アインシュタインの宇宙観は守られました（詳しい内容は「続・相対論の正しい間違え方」をご覧ください）。ただ、ここでは数式を追うのが目的なので、「ドジッターの解」を考えてみたいと思います。間違えてはいけないのは「アインシュタイン-ドジッター宇宙モデル」とは異なることです。真面目に考えると「宇宙の未来について（１）」で正の宇宙定数…
自由度 の
一般化座標 ：
一般化座標 ：
ラグランジアン
作用
簡単のため、１自由度で考える。
最小作用の原理
ここで、
なので、
よって
のとき なので、
したがって、
…
「続・相対論の正しい間違え方」の宇宙論編の数式をちょっと追いかけてみたいと思います。
ただし (1.1)
このアインシュタイン方程式に「宇宙の一様等方性」という条件を入れると
この導出過程は大体「ロバートソン・ウォーカーの計量のおさらい」に書いて通りです。ただ今回は西海岸方式を使って…
自由ディラック粒子において p≠0 の場合について考えます。
２つの２成分スピノル と を用いて
で、
から
なので、
となり、(b) 式から
(a) 式から
ここで、
とすれば
今日はこの辺で。。
かつてはブル－バックスで出版されていたのですが、現在はちくま学芸文庫になっている「カオスとフラクタル」で、80年代に初めてロジスティック差分方程式を知りました。これと表題にある「レミングの集団自殺」を関係付けて考えた記事です。「レミングの集団自殺」は検索していただけるとお分かりと思いますが、真実ではないようですね。もともとこういう噂があ…
プレスリーの Can't Help Falling in Love を wikipedia で見ると
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"Can't Help Falling in Love" はアルバム Blue Hawaii （1961）のためにアメリカの歌手 Elvis Presley …
『「フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量」のwikipedia（２）』の計算確認です。「宇宙の計量の計算（１）」「宇宙の計量の計算（２）」を参考にします。
計量：
計量要素の偏微分は
クリストッフェル記号
よって、α=t の場合
…
自由ディラック粒子について考えます。
自由粒子で、平面波を用いて、
と表せる解を考えます。ここで は4 成分スピノルで、 に依らないものとします。さて
に代入すると
となります。
ここで、パウリ表現
を用いると
は
となり、 の場合は（４×４であることに留意して）
…
つづきを読みます。
１．４ 曲率
１．４．１ デカルト座標
デカルト座標を使用した平らな（k = 0）FLRW空間おいて、ゼロでないリッチテンソルの成分は
で、スカラー曲率は
１．４．２ 超球座標
球面座標を使用するより一般的なFLRW空間では、リッチテンソルの残存成分は
…