宇宙論おさらい_続・相対論の正しい間違え方を読むために(6)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」16ページの式 (2.3) を導出しようした記事です(軽いネタです)。

具体的には、

 

を前提に、時刻 の固定端から距離 に乗った人のその後の速さは

 

となるということですが、この本では「式 (2.2) を時間 で積分して変形すればよい」と書いてありますが、ピンと来ないので自分なりに考えてみました。

時刻 等分して考えます。

ハッブル_01.jpg

まず初期状態:
 位置 
 速度 
 
時刻 での状態:
 時間が短くて速度は殆ど変化しないとすると、速度 だけ進むので位置は
 
 速度は (2.2) 式からハッブル定数を掛ければよいので
 

ハッブル_02.jpg

時刻 での状態:
 時間が短くて速度は殆ど変化しないとすると、速度 だけ進むので位置は
 
  
 速度は (2.2) 式からハッブル定数を掛ければよいので
 

したがって、時刻 では

 
であり、 の極限を考えると

  

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