3章 ディラック場(14)

"3.3 Free-Particle Solutions of the Dirac Equation" 「3.3ディラック方程式の自由粒子解」の2回目を読んでいきたいと思います。

これで、静止系に u(p) の一般的な形ができたので、ブーストにより、他の慣性系での u(p) を取得できます。3方向に沿ってブーストを検討してください。最初に、4元運動量ベクトルに対してブーストが何を行うかを思い出す必要があります。微小変位形式で

 

で、ここで η は微小パラメータです。有限の η に対して、次のように書けます。

 
    
    

パラメータ η は迅速性と呼ばれます。それは、連続的なブーストの下で加算される量です。
次に、同じブーストを u(p) に適用します。 (3.26)式および(3.30)式によると,

 
   
   
   

最後の行は、

 

を与えるように簡略化できます。ここで、行列の平方根を取る際に、各固有値の正の根を取ることが理解されます。 この u(p) の式はよりコンパクトであるだけでなく、p の任意の方向にも有効です。 この形の表現を扱うとき、アイデンティティ

 

を知ることはしばしば役に立ちます。次に、(3.50)が(3.43)の形式のディラック方程式の解であることを直接確認できます。

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