## 中性スカラー場の練習問題（４）

[問題]-----------------------

$N\equiv \int d^{3}k\; a^{\dagger }(\boldsymbol{k})a(\boldsymbol{k})$

$N|n\rangle= n|n\rangle\; \; \; \; \; \; n= 0,1,2,\cdots$
を満たすことを証明せよ。ただし
$|n\rangle\equiv |\boldsymbol{k}_{1},\boldsymbol{k}_{1},\cdots ,\boldsymbol{k}_{n}\rangle$
$= \frac{1}{\sqrt{n!}}a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{1})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2})\cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
である。この $\110dpi N$ を粒子数演算子と呼ぶ。
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$N|n\rangle= \frac{1}{\sqrt{n!}}\int d^{3}k\: a^{\dagger }(\boldsymbol{k})a(\boldsymbol{k})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{1})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2})\cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
$= \frac{1}{\sqrt{n!}}\int d^{3}k\: a^{\dagger }(\boldsymbol{k})\left \{ a(\boldsymbol{k})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{1}) \right \}a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2})\cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
$= \frac{1}{\sqrt{n!}}\int d^{3}k\: a^{\dagger }(\boldsymbol{k})\left \{\delta ^{3}(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}_{1})+ a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{1}) a(\boldsymbol{k}) \right \}a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2})\cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
$= \frac{1}{\sqrt{n!}}\int d^{3}k\: a^{\dagger }(\boldsymbol{k})\delta ^{3}(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}_{1}) a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2})\cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
$+\frac{1}{\sqrt{n!}}\int d^{3}k\: a^{\dagger }(\boldsymbol{k})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{1})\left \{ a(\boldsymbol{k}) a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2}) \right \}a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{3}) \cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
$= \frac{1}{\sqrt{n!}} a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{1})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2})\cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
$+\frac{1}{\sqrt{n!}}\int d^{3}k\: a^{\dagger }(\boldsymbol{k})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{1})\left \{ a(\boldsymbol{k}) a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2}) \right \}a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{3}) \cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
$= |n\rangle$
$+\frac{1}{\sqrt{n!}}\int d^{3}k\: a^{\dagger }(\boldsymbol{k})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{1})\left \{\delta ^{3}(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}_{2}) +a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2}) a(\boldsymbol{k}) \right \}a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{3}) \cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
$=2 |n\rangle$
$+\frac{1}{\sqrt{n!}}\int d^{3}k\: a^{\dagger }(\boldsymbol{k})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{1})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{2})\left \{ a(\boldsymbol{k})a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{3}) \right \} \cdots a^{\dagger }(\boldsymbol{k}_{n})|0\rangle$
$= \cdots = n|n\rangle$

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