量子場と波動関数の違いの分かる問題6
堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題6です。
[問題6]-----------------------------
= \Lambda ({x}'-x))
を満たす２体ポテンシャル項を含んだ下記のハミルトニアンを考える」。
\left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right )\hat{\Psi }(x)dx)
\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\Lambda (x-{x}')\hat{\Psi }(x)\hat{\Psi }({x}')dxd{x}')
このときの量子場のハイゼンベルグ演算子は下記の非線形シュレディンガー方程式を満たすことを示せ。
}{\partial t})
 +\int_{-\infty }^{\infty }\Lambda (x-{x}')\hat{\Psi }^{\dagger }(t,{x}')\hat{\Psi }(t,{x}')d{x}' \right )\hat{\Psi }(t,x))
----------------------------------
ハイゼンベルグの運動方程式の右辺を考えると
,\hat{H}]= e^{it\hat{H}/\hbar}\: [\hat{\Psi }(x),\hat{H}]\: e^{-it\hat{H}/\hbar})
,\int_{-\infty }^{\infty }\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial {x}'^2} +V({x}')\right )\hat{\Psi }({x}')d{x}'\right ] \: e^{-it\hat{H}/\hbar})
,\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }\hat{\Psi }^{\dagger }({x}'')\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\Lambda ({x}''-{x}')\hat{\Psi }({x}'')\hat{\Psi }({x}')d{x}''d{x}'\right ] \: e^{-it\hat{H}/\hbar})
\right )\hat{\Psi }(t,x))
ここで、
,\hat{\Psi }^{\dagger }({x}'')\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\hat{\Psi }({x}'')\hat{\Psi }({x}')\right ])
,\hat{\Psi }^{\dagger }({x}'')\right ]\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\hat{\Psi }({x}'')\hat{\Psi }({x}') +\hat{\Psi }^{\dagger }({x}'') \left [ \hat{\Psi }(x),\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\right ]\hat{\Psi }({x}'')\hat{\Psi }({x}'))
\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\left [ \hat{\Psi }(x),\hat{\Psi }({x}'')\right ] \hat{\Psi }({x}') + \hat{\Psi }^{\dagger }({x}'')\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\hat{\Psi }({x}'') \left [ \hat{\Psi }(x),\hat{\Psi }({x}')\right ])
\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\hat{\Psi }({x}'')\hat{\Psi }({x}') +\hat{\Psi }^{\dagger }({x}'') \delta (x-{x}')\hat{\Psi }({x}'')\hat{\Psi }({x}'))
したがって、
,\hat{H}])
\delta (x-{x}'')\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\hat{\Psi }({x}'')\hat{\Psi }({x}') d{x}''d{x}'\right ) e^{-it\hat{H}/\hbar})
\hat{\Psi }^{\dagger }({x}'') \delta (x-{x}')\hat{\Psi }({x}'')\hat{\Psi }({x}')d{x}''d{x}' \right ) e^{-it\hat{H}/\hbar})
\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\hat{\Psi }({x}') d{x}' \:\hat{\Psi }(x) \right ) e^{-it\hat{H}/\hbar})
\hat{\Psi }^{\dagger }({x}'') \hat{\Psi }({x}'')d{x}'' \; \hat{\Psi }(x)\right ) e^{-it\hat{H}/\hbar})
\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\hat{\Psi }({x}') d{x}' \:\hat{\Psi }(x) \right ) e^{-it\hat{H}/\hbar})
[問題6]-----------------------------
を満たす２体ポテンシャル項を含んだ下記のハミルトニアンを考える」。
このときの量子場のハイゼンベルグ演算子は下記の非線形シュレディンガー方程式を満たすことを示せ。
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ハイゼンベルグの運動方程式の右辺を考えると
ここで、
したがって、
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