量子場と波動関数の違いの分かる問題5

[問題5]-----------------------------
$i\hbar\frac{\partial \psi (t,x)}{\partial t}= \left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right )\psi (t,x)$
$\psi (0,x)= \psi (x)$
というシュレディンガー方程式と初期条件を満たす１粒子に波動関数は、シュレディンガー場の理論においては下記の式で書けることを示せ。
$\psi (t,x)\equiv \langle 0| \hat{\Psi }(t,x)\left ( \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}')\hat{\Psi }^{\dagger }({x}') d{x}' \right ) |0\rangle$
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まず初期条件を確認します。
$\hat{\Psi }(t,x)= \exp \left ( i\frac{t}{\hbar} \hat{H}\right )\hat{\Psi }(x)\exp \left ( -i\frac{t}{\hbar} \hat{H}\right )$
なので、
$\hat{\Psi }(0,x)= \hat{\Psi }(x)$
から
$\psi (0,x)= \langle 0| \hat{\Psi }(x)\left ( \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}')\hat{\Psi }^{\dagger }({x}') d{x}' \right ) |0\rangle$
$= \langle 0| \left \{ \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}')\hat{\Psi }(x)\hat{\Psi }^{\dagger }({x}') d{x}' \right \} |0\rangle$
$= \langle 0| \left \{ \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}')\left ( [\hat{\Psi }(x),\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')] +\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\hat{\Psi }(x)\right ) d{x}' \right \} |0\rangle$
$= \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}') \langle 0|[\hat{\Psi }(x),\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')]|0\rangle d{x}'$
$+ \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}') \langle 0|\hat{\Psi }^{\dagger }({x}')\hat{\Psi }(x)|0\rangle d{x}'$
$= \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}') \delta (x-{x}') d{x}'= \psi (x)$

シュレディンガー方程式の左辺は
$i\hbar\frac{\partial \psi (t,x)}{\partial t}=\langle 0| i\hbar\frac{\partial \hat{\Psi }(t,x)}{\partial t} \left ( \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}')\hat{\Psi }^{\dagger }({x}') d{x}' \right ) |0\rangle$
$= \langle 0|\left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right )\hat{\Psi }(t,x) \left ( \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}')\hat{\Psi }^{\dagger }({x}') d{x}' \right ) |0\rangle$
$= \langle 0|\left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right )e^{it\hat{H}/\hbar}\hat{\Psi }(x) e^{-it\hat{H}/\hbar} \left ( \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}')\hat{\Psi }^{\dagger }({x}') d{x}' \right ) |0\rangle$
$= e^{it\hat{H}/\hbar} \langle 0| \left \{ \int_{-\infty }^{\infty }\psi ({x}') \left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right ) \hat{\Psi }(x) \hat{\Psi }^{\dagger }({x}') d{x}' \right \} |0\rangle e^{-it\hat{H}/\hbar}$
$= e^{it\hat{H}/\hbar} \left \{ \int_{-\infty }^{\infty } \left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right ) \psi ({x}') \langle 0|\hat{\Psi }(x) \hat{\Psi }^{\dagger }({x}') |0\rangle d{x}' \right \} e^{-it\hat{H}/\hbar}$
$= e^{it\hat{H}/\hbar} \left \{ \int_{-\infty }^{\infty } \left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right ) \psi ({x}') \langle 0|\hat{\Psi }(x) \hat{\Psi }^{\dagger }({x}') |0\rangle d{x}' \right \} e^{-it\hat{H}/\hbar}$
$= e^{it\hat{H}/\hbar} \left \{ \int_{-\infty }^{\infty } \left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right ) \psi ({x}') \delta (x-{x}') d{x}' \right \} e^{-it\hat{H}/\hbar}$
$= \left ( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right ) \psi (x)$

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