量子場と波動関数の違いの分かる問題1,2

堀田昌寛先生がツイッターで「量子場と波動関数の違いの分かる問題」というのを出題されていて、私のような門外漢は一問ずつ虚心坦懐に自力で解いていくのが良いと思います。すでに解かれている方のブログ記事などがありますが、極力見ないで解こうと思います。

[問題1]-----------------------------
前提:
①交換関係
 
②場のハミルトニアン演算子
 
③場のハイゼンベルグ演算子
 

題意:場のハイゼンベルグ演算子がシュレディンガー方程式を満たすことを示せ
----------------------------------

まず、場を表す に交換関係があるので演算子であることが分かりますし、そもそもハット(^)は演算子を表すものですね。波動関数というのは演算子に食われるというか、演算子が作用するものなので、この時点で波動関数とは異なるものと考えられます。

これを解くにはハイゼンベルグの運動方程式

 

を利用します。つまり

 

なので、右辺を計算していくことにします。

 
  
  
   
  
  
  
    
 
 
よって、右辺と結び付ければ

 

というシュレディンガー方程式を満たすことが分かります。ただ、この最後の関係式だけ見ると、波動関数と勘違いするかも知れません。交換関係のように演算子特有の性質を使わないとこの関係式にたどり着かないことが重要だと思いました。

[問題2]-----------------------------
前提:
①粒子が存在しない真空状態
 
②1粒子が位置 x に局在する状態
  
題意:次の関係式が成立することを確認せよ。
 
----------------------------------

 
よって、
  
  
  

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