完全流体のエネルギー・運動量テンソルを考える(1)

アインシュタイン方程式の右辺にくるエネルギー・運動量テンソルのことはあまり詳しく考えたことがないので、ちょっと勉強です。

何が分かってないかというと、完全流体だと

 

という式が成立するということです。「一般相対論入門」によると、4章末問題をやると分かるそうなので、その方向に沿ってやってみたいと思います。丸写しではまずいと思うのでちょっと変えます。

非相対論的完全流体の流れの方程式は、
  : 流体の静止系での密度
  : 流体の静止系での速度
として

 

となります。次にオイラー方程式
  : 流体の静止系での圧力 
とすると、

 

さらに、非相対論的完全流体の応力テンソルは

 

とするそうです。これって

 

ということですね。このとき、運動量保存則

 

に書けることを示せ、というのが問題です。
まず、流れの方程式は

 

オイラー方程式は

 

から、流れの方程式に vi をかけて、 オイラー方程式には ρ をかけて足し合わせると

 
  
  
  
   
  
    

いっぽう、

 

から

 
  

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