3章 ディラック場(8)

"3.2 The Dirac Equation" の1回目を読んでいきたいと思います。

ローレンツ群の1つの有限次元表現を見てきたので、論理的な次のステップは、他のすべての表現を見つけるための形式主義を発展させることです。これはそれほど難しいことではありませんが(問題3.1を参照)、スピン 1/2 に対応する表現に主に関心があるため、私たちの目的にはほとんど必要ありません。

ディラックによるトリックを使用して、このような表現を見つけることができます。反交換関係

 

を満たす4つの n×n 行列 のセットがあると仮定します。
次に、ローレンツ代数の n 次元表現をすぐに書き留めます。 ここにあります:

 

(3.22)を繰り返し使用することで、これらの行列が交換関係(3.17)を満たしていることを簡単に検証できます。

この計算は、ローレンツまたはユークリッド計量を使用して、任意の次元で実行されます。特に、それは3次元ユークリッド空間で機能するはずであり、実際には

 

と書くだけで

 

になります。最初の行の i の係数と2番目の行のマイナス記号は純粋に従来のものです。
ローレンツ代数を表す行列は

 

であり、回転群の2次元表現として認識されます。

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