3章 ディラック場(13)

"3.3 Free-Particle Solutions of the Dirac Equation" 「3.3ディラック方程式の自由粒子解」の1回目を読んでいきたいと思います。

ディラック方程式の物理を理解するために、平面波の解法について説明します。 ディラック場ψはクラインゴルドン方程式に従うため、平面波の線形結合として記述できることがすぐにわかります。

 

当面は、正の周波数、つまり の解に集中します。列ベクトル は、ディラック方程式(3.45)に

 

をプラグインすることによって見つけられる追加の制約に従う必要があります。

静止系でこの方程式を分析するのが最も簡単です。ここで、 です。 一般的な の解は、 でブーストすることによって見つけることができます。静止系では、式(3.46)は

 

になり、解は任意の数値2成分スピノル に対して

 

になります。通常、 を正規化して にします。 因数 は、将来の便宜のために挿入されています。回転生成子 (3.27) を見ると、スピノル を解釈できます。 は、回転の下で、通常の方法で回転群の通常の2成分スピノルとして変換されます。 たとえば、 の場合、粒子は3方向に沿ってスピンアップします。

ディラック方程式を適用した後は、 の4つの成分のうち2つだけを自由に選択できることに注意してください。 これはまさに私たちが望んでいることです。なぜなら、スピン1/2粒子には、スピンアップとスピンダウンという2つの物理状態しかないからです。 (もちろん、パーティクルとスピンについて話すのは少し時期尚早です。 セクション3.5でディラック理論を量子化すると、ディラック粒子のスピン角運動量が であることを証明します。 とりあえず、任意の運動量 に対して2つの可能な解 があることに注意してください。)

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