3章 ディラック場(11)

"3.2 The Dirac Equation" の4回目を読んでいきたいと思います。

ディラック理論のラグランジアンを書き留めるには、ローレンツスカラーから2つのディラックスピノルを乗算する方法を理解する必要があります。明白な推測である は機能しません。ローレンツのブーストでは、これは になります。 ブースト行列がユニタリの場合、 があり、すべて問題ありません。 しかし、生成元(3.26)はエルミートではないため、 はユニタリーではありません。

解決策は

 

を定義することです。 でパラメーター化された微小ローレンツ変換の下では、

 

があります。 の合計はどちらも非ゼロであり、 と交換されます。 または が0であるブースト項では、 ですが、 と反交換します。したがって、 を左に移すと からダガーが削除され、変換則

 

が得られるため、量 はローレンツスカラーになります。同様に、((3.29)を使用して) がローレンツベクトルであることを示すことができます。


したがって、正しいローレンツ不変のディラックラグランジアンは

 

です。 (または )のオイラー・ラグランジュ方程式は、形式(3.31)でディラック方程式を直ちに生成します。 のオイラー・ラグランジュ方程式は、エルミート共役形式の同じ方程式

 

を与えます。

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