生態学をちょっと(1)

社会科学における数学的モデル」という半世紀前の本が出てきたので、その一部を読んでみたいと思います。(実は読んでいないのですが)別の書籍で山口昌哉先生の「数学が分かるということ- 食うものと食われるものの数学」でも取り上げられているものと同じではないか?と想像しています。

ウサギとキツネのモデル

  : ウサギの数 、  : キツネの数

 ・ ウサギを殺すキツネがいなければウサギの数は増加する   
     ならば が正の定数として
   
 ・ 食べるウサギがいなければキツネは徐々に死んでいく   
    ならば が正の定数として
   

 ・ ウサギとキツネが共存しているならば、キツネのウサギを殺す数は に比例すると仮定する。
   (1)式からキツネに食べられるウサギの死を表す項を引く
   (2)式からウサギを食べて増加するキツネの数を表す項を加える
   が正の定数として
   

 これを、ある時刻 という初期条件を課して解くことになります。
 ここで、(3) 式の右辺をゼロと置くと、
  
 で自明な平衡点 ともう一つの平衡点 があることが分かります。
  
 とすれば
    
 なので、
  
  
 となり、2次の部分を無視して近似すると
  
 であり、ここから
  
 つまり近似的に
  
 となり、この解は良く知られているように振動解となり例えば
  
 であり
  
 から
  
 なので、
  
 と楕円に近い軌道を描くことが分かります。
 正確な軌道については後記事で。。
  
 

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