3章 ディラック場(10)

"3.2 The Dirac Equation" の3回目を読んでいきたいと思います。

の変換法則ができたので、適切な場の方程式を探す必要があります。1つの可能性は、単純にクライン・ゴルドン方程式です:

 

これは、スピノル変換行列 (3.26) および (3.27) が「内部」空間でのみ機能するため機能します。 彼らは微分演算子を通り抜けます。しかし、 (3.28) を意味するが追加情報を含む、より強力な1次方程式を書くことは可能です。 これを行うには、 行列のもう1つの特性を知る必要があります。
短い計算で、

 

または同等の
 
 

を検証できます。この方程式は、

 

の無限小形式です。ここで、(3.30) はローレンツ変換 のスピノル表現です((3.19) と比較してください)。式(3.29)は、ベクトルとスピノルインデックスの同時回転の下では 行列が不変であることを示しています(空間回転の下での のように)。 言い換えると、「 のベクトルインデックス を真剣に受け止め 」、 にしてローレンツ不変微分演算子を形成できます。
これで、ディラック方程式を書く準備ができました。ここにあります:

 

それがローレンツ不変であることを示すために、左辺のローレンツ変換版を書き計算します。

 
  
   
   
   
   
   

ディラック方程式がクラインゴルドン方程式を暗示することを確認するには、左辺に を付けて作用させます。

 
        
   

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